Niveau maths spé

Sommes de Riemann

Posté par
Paslechoix 19-08-22 à 14:31

Bonjour, pourriez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plaît ?
$\sum_{0 }^{n}{}1/(k^2 + (n-k)^2)$
Je veux déterminer la limite de la somme avec la formule des sommes de Riemann mais j'arrive pas à identifier la fonction qui va avec.

Posté par re : Sommes de Riemann 19-08-22 à 15:02

Bonjour,

Et si on mettait un $\frac{1}{n^2}$ en facteur ?

Posté par re : Sommes de Riemann 19-08-22 à 15:48

Ce n'est pas ce qui est demandé, mais note que tu peux totalement de passer de sommes de Riemann en appliquant l'inégalité de Young ( $2ab \leqslant a^2 + b^2$ ) avec $a = k$ et $b = n-k$ .

Ca donne $k^2 + (n-k)^2 \geqslant 2k(n-k)$ et donc $S_n \leqslant \dfrac{1}{n^2} + \dfrac12\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{k(n-k)}$ .

Et comme $\dfrac{1}{k(n-k)} = \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{n-k}\right)$ , on aura $S_n \leqslant \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{H_n}{n}$ avec $(H_n)$ la série harmonique, dont la somme est équivalente à $\ln(n) = o(n)$ ...

Posté par re : Sommes de Riemann 19-08-22 à 17:07

Bonjour
Merci pour les idées.
J'ai mis 1/n^2 en facteur comme vous l'aviez dit et je retrouve ma somme de Riemann avec 1/n en facteur. Je trouve 2arctan(1) pour la limite de la somme de Riemann et le 1/n en facteur donné à la fin une limite nulle.
Par contre je ne sais pas si je me suis trompée ou pas parce que l'autre raisonnement avec les équivalents contredit mon résultats vu que la somme est équivalent à quelques choses qui tend vers +infinie donc sa limite devrait valoir +infinie aussi.

Posté par re : Sommes de Riemann 19-08-22 à 18:55

La valeur de l'intégrale n'a pas vraiment d'importance, vu que le facteur 1/n qui précède la somme fait tendre de toute façon le tout vers 0. Mais la valeur est effectivement pi/2. On pourrait la trouver plus rapidement, mais voici un calcul simple qui mène à cela

$\begin{array}{lcl} \\ \int_0^1 \dfrac{1}{t^2 + (1-t)^2}dt &=& \dfrac12\int_0^1 \dfrac{1}{t^2 - t + \frac12}dt\\ \\ &=& \dfrac12\int_0^1\dfrac{1}{(t-\frac12)^2 + \frac14}dt\\ \\ &=&2\int_{-\frac12}^{+\frac12}\dfrac{1}{(2u)^2+1}du\\ \\ &=&\int_{-1}^1 \dfrac{du}{1+u^2}\\ \\ &=& \arctan 1 - \arctan(-1)\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2} \\ \end{array}$

Par contre,

Citation :
l'autre raisonnement avec les équivalents contredit mon résultats vu que la somme est équivalent à quelques choses qui tend vers +infinie donc sa limite devrait valoir +infinie aussi.

De quel autre raisonnement parles-tu ? Si tu parles de mon post précédent, il ne fournit pas (directement) un équivalent, mais il montre que $S_n$ est un o(1).
J'ai l'impression que tu penses qu'on peut sommer les équivalents, mais ce n'est pas le cas en général

Posté par re : Sommes de Riemann 19-08-22 à 19:27

Ah oui vous avez raison j'avais sommé les équivalents. Merci pour votre aide.

Posté par re : Sommes de Riemann 19-08-22 à 19:30

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