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sommes doubles

Posté par Liloue (invité) 21-08-05 à 13:38

j'ai un petit exo pour vous, une somme double que je n'arrive pas à résoudre :

   p+q+r=1        k+l<n    
                    
                      
    [n!/k!l!(n-k-l)!]pkqlrn-k-l  
(k,l)[[o,n]]                                

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : sommes doubles 21-08-05 à 14:13


Je reformule en LaTeX (ce que j'ai compris) :

\Bigsum_{0\le k \le n\\0\le l \le n\\k+l<n} \frac{n!}{k! l! (n-k-l)!}p^kq^lr^{n-k-l}

avec p+q+r=1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : sommes doubles 21-08-05 à 14:17

Tu as regardé si cela avait un rapport avec le développement de (p+q+r)^n ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:sommes doubles 21-08-05 à 14:19

Bonjour Liloue;
c'est "k+l<n" ou "k+l\le n"?

Posté par aicko (invité)re : sommes doubles 21-08-05 à 14:49

bonjour a tous

k+ln ...


donc l{0,....,n-k}

\frac{n!}{k!l!(n-k-l)!}= \frac{(n-k)!}{l!(n-k-l)!}\frac{n!}{k!(n-k)!} =C_{n-k}^lC_n^k

\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^{n-k}\frac{n!}{k!l!(n-k-l)!}p^kq^lr^{n-k-l}=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^{n-k}C_{n-k}^lC_n^kp^kq^lr^{n-k-l}
=\sum_{k=0}^nC_n^kp^k\sum_{l=0}^{n-k} C_{n-k}^lq^lr^{n-k-l}
= \sum_{k=0}^nC_n^kp^k (q+r)^{n-k}
=(p+q+r)^n

sauf erreur ...

Posté par aicko (invité)re : sommes doubles 21-08-05 à 14:50

CONCLUSION : puisque p+q+r = 1 cette somme vaut 1

Posté par Liloue (invité)re : sommes doubles 21-08-05 à 15:01

ouah !!! ca c de la rapidité !!

merci beaucoup tout le monde !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:sommes doubles 21-08-05 à 15:40

je vais faire le calcul pour k+l<n (ce qui suppose n\ge1 ),notons S la somme à calculer.
* pour r=0 on a S=0 (vérification facile)
*pour r\neq0on peut écrire:
S=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\frac{n!}{k!}p^k\Bigsum_{l=0}^{n-k-1}\frac{q^{l}r^{n-k-l}}{l!(n-k-l)!)}=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\frac{n!}{k!}p^{k}r^{n-k}\Bigsum_{l=0}^{n-k-1}\frac{(\frac{q}{r})^l}{l!(n-k-l)!)}=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}C_{n}^{k}p^{k}r^{n-k}\Bigsum_{l=0}^{n-k-1}C_{n-k}^{l}(\frac{q}{r})^l
S=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}C_{n}^{k}p^{k}r^{n-k}((1+\frac{q}{r})^{n-k}-(\frac{q}{r})^{n-k}))=\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_{n}^{k}p^{k}r^{n-k}((1+\frac{q}{r})^{n-k}-(\frac{q}{r})^{n-k}))=\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}-\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}
S=1-(p+q)^n=1-(1-r)^n
Conclusion:
3$\red S=1-(1-r)^n
Remarque:
avec k+l\le n on trouve 3$\red S=1
Voilà,je crois que c'est ça
Sauf erreur bien entendu

Posté par Liloue (invité)re : sommes doubles 21-08-05 à 16:27

c'etait bien k+l< ou = n
donc la réponse est 1 !! merci !


j'en ai une petite autre si ca vous dit....
nk=0l=0n-kn!/[(k-1)!(l-1)!(n-k-l)!]pkqlrn-k-l

Posté par Liloue (invité)re : sommes doubles 21-08-05 à 16:28

oh là je suis desolé..j'ai quelques problèmes pour ecrire les ennoncé ....

Posté par Liloue (invité)re : sommes doubles 22-08-05 à 10:49

bon elle a pas l'air de vous tenter celle là ! lol


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