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Sommes doubles

Posté par
redyt 09-12-13 à 18:54

Bonjour, ça fait maintenant un moment que je suis bloqué sur un DM de maths comportant des sommes doubles.

On me demande de montrer que la somme, pour k allant de 0 à n, (k+1)*2k est égale à la somme double 0≤j≤k≤n 2k
je ne sais pas si cela peut aider mais dans la suite de l'exercice on demande de calculer 0≤k≤i≤n (k+1)2k
puis d'en déduire la somme, pour k allant de 0 à n, k(k+1)2k

ça fait des heures que j'essaye des choses en vain je ne sais donc pas s'il est vraiment utile de poster toutes ces tentatives de raisonnement, mais si ça peut aider je peux le faire.

Posté par
carpediemre : Sommes doubles 09-12-13 à 18:57

salut

je ne vois pas de somme double ...

Posté par
redytre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:01

oh j'ai oublié une information qui a peut-être son importance la somme double 0≤j≤k≤n 2k est la somme Sn, j'ai précedemment montré qu'elle était égale à Sn = n2n+1+1
Je ne sais pas si ça peut servir moi ça ne m'as pas beaucoup aidé mais ça a peut-être son importance.

Posté par
redytre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:03

Si :  0≤j≤k≤n 2k est une somme double, elle vaut pour j allant de 0 à n et k de j à n 2k

Posté par
carpediemre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:04

toujours aussi peu clair ...

où intervient j ?

Posté par
carpediemre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:06

ha enfin ...

déjà tu peux calculer la somme portant sur k puisqu'on a une série géométrique ...

après on verra ....

Posté par
redytre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:06

nulle part ailleurs que dans cette seule somme double, mais ce serait peut-être plus clair si j'arrivais à écrire les sommes correctment en latex ce que je ne sais pas faire

Posté par
idmre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:06

Salut, on te demande en gros de montrer que

\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n}2^k=\sum_{k=0}^n (k+1)2^k

Note que \sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n}=\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^k et que k+1=\sum_{j=0}^k 1

Posté par
redytre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:18

ça y est j'ai compris ça tient en trois égalité en fait, je me sens vraiment bête maintenant ça faisait une heure et demie que je cherchais merci beaucoup !
mais du coup pour la suite de mon énoncé ça me fait une somme triple !

Posté par
redytre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:43

et du coup j'obtiens  \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=k}^{n}(k+1)2^k=\sum_{k=0}^{n}(n-k+1)(k+1)2^k=\sum_{k=0}^{n}(k+1)^2*2^k
ce qui ne m'aide pas puisque la question d'après et de trouver la valeur de \sum_{k=0}^{n}k(k+1)2^k
même si la première série d'égalité permet de dire que \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=k}^{n}(k+1)2^k=\sum_{k=0}^{n}(k+1)^2*2^k=\sum_{k=0}^{n}k(k+1)2^k+\sum_{k=0}^{n}(k+1)2^k=\sum_{k=0}^{n}k(k+1)2^k+n2^n^+^1+1

Posté par
carpediemre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:48

(k + 1)2 = k(k + 1) + (k + 1) ....

Posté par
carpediemre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:48

ben oui ...

Posté par
redytre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:56

ben oui ...
k(k+1)+(k+1) = (k+1)(k+1) = (k+1)² c'est juste de la factorisation...
et si tu me crois pas bah : k(k+1)+(k+1)=k²+k+k+1=k²+2k+1=(k+1)² c'est du niveau quatrième il me semble...

Posté par
carpediemre : Sommes doubles 09-12-13 à 19:59

mais je suis bien d'accord avec toi .... je n'avais pas vu en détail ce que tu avais écrit ....

Posté par
redytre : Sommes doubles 09-12-13 à 20:01

Ah d'accord j'avais pas compris ^^
Mais je bloque toujours

Posté par
redytre : Sommes doubles 10-12-13 à 18:13

quelqu'un aurait une idée pour \sum_{k=0}^{n}k(k+1)2^k ?

Posté par
kybjmre : Sommes doubles 10-12-13 à 23:06

Sn = k=0k=1 k(k+1)2k = k=1k=1 k(k+1)2k est la valeur en 1 de A = k=1k=1 k(k+1)2kXk-1 .
Cherche B [X] tel que B' = A .

Posté par
kybjmre : Sommes doubles 10-12-13 à 23:08

C'est partout k=0k=n au lieu de k=0k=1


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