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Sommes riemann

Posté par
Crei 06-04-23 à 12:13

Bonjour, Besoin d'aide

Soit\ \xi \in \mathit{C}^2(R,R)\ telles\ que\ \xi(0)=1\ , \xi'(0)=0\ et\ \xi''(0)= -1

Calculer la limite de la suite de terme generale:

a_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}{\xi(\frac{k}{n+1})\xi'(\frac{k+1}{n+1})\ et\ b_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{(\xi(\frac{\pi}{\sqrt{n}}))^n}{\sqrt{(n+k)(n+1+k)}}

Posté par
Creire : Sommes riemann 06-04-23 à 12:14

*k commence à 0 au niveau de a_n

Posté par
Creire : Sommes riemann 06-04-23 à 19:48

Pour a_n j'ai introduit une suite u_n qui en ramplaçant k/n+1 par k+1/n+1 puis j'ai appliquer le theoreme de Riemann en integrant f(x)×f'(x) entre 0 et 1.
Je voulais apres montrer que u_n et a_n ont la meme limite
La je me suis blocquer je connais pas la valeur de f(1). Et meme pour arriver à la conclusion lim(an-un)=0 aussi

Posté par
matheux14re : Sommes riemann 06-04-23 à 19:59

Bonsoir,

Pour calculer la limite de la suite de termes généraux donnés, on peut utiliser les propriétés de la fonction \xi et les techniques de calcul du calcul différentiel.

Remarquer que la suite a_n est une somme discrète de produits \xi\left(\dfrac{k}{n+1}\right)\xi'\left(\dfrac{k+1}{n+1}\right), multipliés par \dfrac{1}{n+1}. Cela ressemble à une approximation discrète de l'intégrale de \xi(x)\xi'(x) sur l'intervalle [0,1].

S'attendre donc à ce que la limite de a_n soit égale à l'intégrale de \xi(x)\xi'(x) sur cet intervalle.

Utilises ensuite les propriétés de dérivation de la fonction \xi, pour calculer cette intégrale.

Posté par
matheux14re : Sommes riemann 06-04-23 à 20:13

Crei @ 06-04-2023 à 19:48

Pour a_n j'ai introduit une suite u_n qui en ramplaçant k/n+1 par k+1/n+1 puis j'ai appliquer le theoreme de Riemann en integrant f(x)×f'(x) entre 0 et 1.
Je voulais apres montrer que u_n et a_n ont la meme limite
La je me suis blocquer je connais pas la valeur de f(1). Et meme pour arriver à la conclusion lim(an-un)=0 aussi


Je comprends.

En effet, en introduisant la suite u_n = \dfrac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n} \xi\left(\dfrac{k}{n+1}\right) \xi'\left(\dfrac{k+1}{n+1}\right) et en appliquant le théorème de Riemann, on peut montrer que u_n converge vers la même limite que a_n.

Cependant, pour montrer que \lim_{n \to \infty} (a_n - u_n) = 0
, tu as donc besoin de connaître la valeur de \xi(1), ce qui n'est pas donné dans l'énoncé.

La méthode que tu as utilisée avec la suite u_n est une approche valide pour montrer que a_n et u_n ont la même limite, en supposant que \xi(x) est continue en x=1.

Tu peux continuer en utilisant le théorème de Riemann pour montrer que \lim_{n \to \infty} (a_n - u_n) = 0, mais cela nécessitera de connaître la valeur de \xi(1).

Si tu as cette information, tu peux continuer avec votre approche et montrer que a_n et u_n ont la même limite en utilisant le théorème de Riemann.

Posté par
carpediemre : Sommes riemann 06-04-23 à 20:44

salut

l'énoncé est-il complet ?

cela n'aurait-il as à voir avec    ?

Posté par
LUCIFERUSre : Sommes riemann 07-04-23 à 12:58

carpediem @ 06-04-2023 à 20:44

salut

l'énoncé est-il complet ?

cela n'aurait-il as à voir avec    ?

c'est encore plus flou:

Posté par
LUCIFERUSre : Sommes riemann 07-04-23 à 13:00

matheux14 @ 06-04-2023 à 20:13

Crei @ 06-04-2023 à 19:48

Pour a_n j'ai introduit une suite u_n qui en ramplaçant k/n+1 par k+1/n+1 puis j'ai appliquer le theoreme de Riemann en integrant f(x)×f'(x) entre 0 et 1.
Je voulais apres montrer que u_n et a_n ont la meme limite
La je me suis blocquer je connais pas la valeur de f(1). Et meme pour arriver à la conclusion lim(an-un)=0 aussi


Je comprends.

En effet, en introduisant la suite u_n = \dfrac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n} \xi\left(\dfrac{k}{n+1}\right) \xi'\left(\dfrac{k+1}{n+1}\right) et en appliquant le théorème de Riemann, on peut montrer que u_n converge vers la même limite que a_n.

Cependant, pour montrer que \lim_{n \to \infty} (a_n - u_n) = 0
, tu as donc besoin de connaître la valeur de \xi(1), ce qui n'est pas donné dans l'énoncé.

La méthode que tu as utilisée avec la suite u_n est une approche valide pour montrer que a_n et u_n ont la même limite, en supposant que \xi(x) est continue en x=1.

Tu peux continuer en utilisant le théorème de Riemann pour montrer que \lim_{n \to \infty} (a_n - u_n) = 0, mais cela nécessitera de connaître la valeur de \xi(1).

Si tu as cette information, tu peux continuer avec votre approche et montrer que a_n et u_n ont la même limite en utilisant le théorème de Riemann.


j'ai essaye avec sa methode mais je ne vois pas l'utilisation de la derivation seconde

Posté par
Creire : Sommes riemann 08-04-23 à 00:11

S'il vous plait merci de regarder ma tentative . Je suis ouvert a d'autre proposition . J'ai pas d'idee pour le b_n besoin 'daide

a_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}{\xi (\frac{k}{n+1}\xi'(\frac{k+1}{n+1}})=\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}{\xi (\frac{k}{n+1})\xi'(\frac{k+1}{n+1}})-\frac{1}{n+1}(\xi(1)\xi'(\frac{n+2}{n+1})-\xi'(\frac{1}{n+1})).


Posons u_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}{\xi (\frac{k}{n+1})\xi'(\frac{k+1}{n+1}}) \ et\ z_n=\sum_{k=1}^{n+1}{\xi (\frac{k}{n+1})\xi'(\frac{k}{n+1}})


\xi etant \  continue\ alors\ pour\

\epsilon \succ 0, il\ existe\ \eta \succ 0:x,y\in R,|x-y|\leq \eta \Rightarrow |\xi'(x)-\xi'(y)|\leq \frac{\epsilon }{2M},

M=max||\xi (x)||_{[0;1]} \. Prenons\ y=x+\frac{1}{n+1},\ x=\frac{k}{n+1},\ k\in [1:n+1]

|\xi(x)|×  |\xi'(x)-\xi'(y)|\leq \frac{\epsilon}{2}×\frac{|\xi (x)| }{M}\leq \frac{\epsilon}{2}

\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}{}(\xi(x)\xi'(x)-\xi(x)\xi'(y))\leq \frac{\epsilon}{2}

|u_n-z_n|\leq \frac{\epsilon}{2}\Rightarrow \ n\rightarrow \infty : u_n\sim z_n

or z_n\rightarrow\int_{0}^{1}{\xi(x)\xi'(x)=\frac{1}{2}[\xi^2(x)]^1__0

a_n=u_n-\frac{1}{n+1}(\xi(1)\xi'(\frac{n+2}{n+1})-\xi'(\frac{1}{n+1})

\lim_{}a_n=limz_n-0×(\xi(1)\xi'(0)-\xi'(0))=limz_n

Posté par
luzakre : Sommes riemann 08-04-23 à 09:23

Bonjour !
En utilisant la continuité uniforme de \xi ' on a \left|\xi'\Bigl(\dfrac{k+1}{n+1}\Bigr)-\xi'\Bigl(\dfrac k{n+1}\Bigr)\right|\leq\varepsilon pour n\geq n_0.
Par sommation on a donc |u_n-a_n|\leq\varepsilon\dfrac1{n+1}\sum_{0\leq k\leq n}\xi\Bigl(\dfrac k{n+1}\Bigr) ce qui prouve que la limite de u_n-a_n est nulle.

La dérivée seconde est inutile pour cette première suite mais permet d'étudier la deuxième suite.

Posté par
Creire : Sommes riemann 08-04-23 à 14:15

Une piste pour la derivee seconde svp

Posté par
carpediemre : Sommes riemann 08-04-23 à 14:30

(n + k) (n + k + 1) = n2 (1 + k/n)(1 + ...) pour se ramener à nouveau à une somme de Riemann ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Sommes riemann 08-04-23 à 16:53

Bonjour


\Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~b_n=\underbrace{\boxed{\xi\left(\frac{\pi}{\sqrt n}\right)^n}}_{x_n}\underbrace{\boxed{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+1+k}}}}_{y_n}}


\bullet Le DL_2 de \xi en 0 à l'ordre 2 s'écrit : \Large\xi(h)=1-\frac{h^2}{2}+o(h^2)


donc pour n assez grand on a : \Large\xi(\frac{\pi}{\sqrt n})=1-\frac{\pi^2}{2n}+o(\frac{1}{n}) d'où \Large\lim_{n\to+\infty}n\left(\xi(\frac{\pi}{\sqrt n})-1\right)=-\frac{\pi^2}{2} d'où \Large\lim x_n=...


\bullet \Large\forall n\geqslant1~,~\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+1+k}\leqslant y_n\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k} d'où \Large\lim y_n=... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Sommes riemann 08-04-23 à 19:17

Avec \Large\boxed{a_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\xi\left(\frac{k}{n+1}\right)\xi'\left(\frac{k+1}{n+1}\right)~~;~~u_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\xi\left(\frac{k}{n+1}\right)\xi'\left(\frac{k}{n+1}\right)}



on a si on note \Large\boxed{M_0=\sup_{[0,1]}|\xi|~~;~~M_2=\sup_{[0,1]}|\xi''|} :


\Large\boxed{\forall n~,~|a_n-u_n|\leqslant\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\left|\xi\left(\frac{k}{n+1}\right)\right|\left|\xi'\left(\frac{k+1}{n+1}\right)-\xi'\left(\frac{k}{n+1}\right)\right|}


l'inégalité des accroissements finis appliquée à \xi' sur le segment [\frac{k}{n+1},\frac{k+1}{n+1}] donne alors :


\Large\boxed{\forall n~,~|a_n-u_n|\leqslant\frac{M_0M_2}{n+1}}

Posté par
matheux14re : Sommes riemann 08-04-23 à 19:20

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Sommes riemann 09-04-23 à 00:23

matheux 14

Posté par
Creire : Sommes riemann 11-04-23 à 10:20

elhor_abdelali @ 08-04-2023 à 16:53

Bonjour


\Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~b_n=\underbrace{\boxed{\xi\left(\frac{\pi}{\sqrt n}\right)^n}}_{x_n}\underbrace{\boxed{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+1+k}}}}_{y_n}}


\bullet Le DL_2 de \xi en 0 à l'ordre 2 s'écrit : \Large\xi(h)=1-\frac{h^2}{2}+o(h^2)


donc pour n assez grand on a : \Large\xi(\frac{\pi}{\sqrt n})=1-\frac{\pi^2}{2n}+o(\frac{1}{n}) d'où \Large\lim_{n\to+\infty}n\left(\xi(\frac{\pi}{\sqrt n})-1\right)=-\frac{\pi^2}{2} d'où \Large\lim x_n=...


\bullet \Large\forall n\geqslant1~,~\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+1+k}\leqslant y_n\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k} d'où \Large\lim y_n=... sauf erreur de ma part bien entendu


Merciiii

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Sommes riemann 11-04-23 à 12:57

C'est un plaisir Crei


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