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sos à l aide !

Posté par hanane (invité) 17-10-05 à 20:58

je trouve un peu de difficulté à faire cet exercice:

soit f(x)= de n=0  à  + l'infini  de  1/x(x+1).......(x+n)
      
         1/ établir l'existence et la continuité de f    sur R+*
         2/ calculer f(x+1) en fonction de f(x).
         3/ Tracer la courbe de f .
            
         merci d'avance .

Posté par hanane (invité)re : sos à l aide ! 17-10-05 à 22:33

j'ai trouvé la 1ère , il me faut le reste

Posté par
Flo_64re : sos à l aide ! 17-10-05 à 22:38

en fait 1/[x(x+1)....(x+n)] est composé de fonction continue definies sur R+* car sinon elle ne sont pas definies

2/
f(x+1)=somme(1/[(x+1)(x+2)...(x+n)]=somme(x/[x(x+1)(x+2)...(x+n))=xf(x)

Posté par hanane (invité)re : sos à l aide ! 17-10-05 à 23:09

non Flo_64  f(x+1) = somme ( 1/ (x+1)(x+2).....(x+1+n) )

Posté par graphg (invité)petit prob arithmetique 18-10-05 à 16:53

hello,
g un petit prob avec cette exo:
trouver tous les couples d'entier (a,b)€ N^2 tels que
5(a + b)^2 = 147(a v b)
si quelqu'un c comment fo faire du moin comment débuter... g beau essayer j'arrive a rien.. :'( merci

Posté par philoux (invité)re : sos à l aide ! 18-10-05 à 17:01

Bnjour,

crées un nouveau post

a v b ?

Philoux

Posté par graphg (invité)reponse a philoux 18-10-05 à 19:04

v = ppcm (plus petit commun multiple

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : sos à l aide ! 19-10-05 à 06:11

Bonsoir hanane;
1)
(*)Existence de f:
Pour \fbox{x>0} et n\in\mathbb{N} notons 3$\fbox{f_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{1}{x(x+1)..(x+k)}} on a ainsi que 3$\fbox{f_0(x)=\frac{1}{x}\\(\forall n\ge1)\hspace{5}f_n(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{(x+1)..(x+k)}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\Bigsum_{k=1}^{n}(\frac{1}{x+1})^k\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\Bigsum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{x+1})^k=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} et on voit donc que pour x>0 fixé,la suite (f_n(x))_n est croissante majorée donc convergente on peut donc écrire que:
3$\fbox{(\forall x>0)\hspace{5}f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)..(x+n)}\hspace{5}existe}
(*)Continuité de f:
3$\fbox{(\forall n\ge0)(\forall x>0)\\0\le f(x)-f_n(x)=\frac{1}{x}\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)..(x+n)}\le\frac{1}{x}\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}(\frac{1}{x+1})^k=\frac{1}{x(x+1)^{n+1}}\Bigsum_{p=0}^{+\infty}(\frac{1}{x+1})^p=\frac{1}{x^2}(\frac{1}{x+1})^n} ainsi 3$\fbox{(\forall0<a<b)\hspace{5}\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|\le\frac{1}{a^2}(\frac{1}{a+1})^n} et comme 2$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{a^2}(\frac{1}{a+1})^n=0} on voit que la suite de fonctions (f_n)_n convergence uniformément vers f sur tout compact contenu dans ]0,+\infty[ les f_n étant continues sur ]0,+\infty[ on conclut que f est continue sur tout compact contenu dans ]0,+\infty[ et donc sur ]0,+\infty[.

2)
3$\fbox{(\forall x>0)\hspace{5}f(x+1)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x+1) =\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{1}{(x+1)..(x+k+1)}=\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}x\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{1}{x(x+1)..(x+k+1)}\\=\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}x\Bigsum_{k'=1\\k'=k+1}^{n+1}\frac{1}{(x+1)..(x+k')}=\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}x(f_{n+1}(x)-\frac{1}{x})=xf(x)-1}.

3)
On peut facilement établir que:
(*)f est strictement décroissante sur ]0,+\infty[.
(*)f est convexe car limite de fonctions convexes.
(*)\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty
(*)\lim_{x\to0^+} xf(x)=e
(*)\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
(*)\lim_{x\to+\infty} xf(x)=1
(*)(\forall x>0)\hspace{5}\frac{1}{x}<f(x)<\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}
(*)(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\hspace{5}f(n)=(n-1)!(e-\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!})
Avec ceci le graphe de f ressemblerait à celui de l'hyperbole x\to\frac{1}{x} sur ]0,+\infty[ tout en étant strictement au dessus et strictement en dessous du graphe de la fonction x\to\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par hanane (invité)re : sos à l aide ! 19-10-05 à 22:05

merci elhor_abdelali d'avoir pris la peine d'écrire tout ça , justement j'ai trouvé une courbe comme celle d'un hyperbole,.pour la continuité de f , j'ai montré que f  converge normalement donc uniformément sur [a,+00[ tel que a > 0 et x >= a,or la suite f_n est continue , donc f est continue sur ]0,+00[ , est ce que c'est juste ?


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