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SOS matrices stochastiques

Posté par niniecrap (invité) 24-08-05 à 22:40

On appelle matrices stochastiques une matrice carrée telle que tous ses coeff sont réel positif et la somme des termes d'une ligne quelconque est égale à 1.

J'ai déja prouvé que si L est valeur propre de A, matrice stochastique, alors le module de L est au plus égal à 1.

Je bloque ici :
Montrer que si L est valeur propre de A de module 1, x1, ...xn les coordonnées d'un vecteur propre associé X et xk une des coordonnées de plus grand module , alors il existe k1 tel que : xk1 = L.xk.
En déduire que L est une racine de l'unité.

Je bloque vraiment et je n'ai rien trouvé sur internet pour m'aider. j'ai trouvé beaucoup de problemes sur les puissances de telles matrices mais rien sur leurs valeurs propres.

SVP aidez-moi........... ce n'est que la 1ere partie du probleme et je voudrais vraiment reussir a le faire en entier ... je suis desespérée car je pense que ce n'est pas tres dur mais ...... je n'y arrive pas !
merci d'avance .

Posté par aicko (invité)re : SOS matrices stochastiques 24-08-05 à 23:05

bonsoir
il me semble que chaque coefficient est compris entre 0 et 1

sinon ce n'est pas possible d'obtenir une somme egale à 1

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:SOS matrices stochastiques 25-08-05 à 02:36

c'est la 3ième fois que je poste ma réponse mais qui ne passe pas !!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:SOS matrices stochastiques 25-08-05 à 03:12

Bonsoir;
tu peux commencer par montrer que:
3$\blue\Bigsum_{j=1}^{j=n}a_{kj}(1-\frac{|x_j|}{|x_k|})=0

Posté par niniecrap (invité)re : SOS matrices stochastiques 25-08-05 à 08:37

salut, et merci pour ces réponses .
J'ai bien montré tout un tas de relation telle que celle ci mais je ne vois comment on peut arriver à une "existence" d'un k1 particulier ...
Et encore moins comment on en déduit que L est racine de l'unité ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : SOS matrices stochastiques 25-08-05 à 16:37

Avec \Bigsum_{j=1}^{j=n}a_{kj}(1-\frac{|x_j|}{|x_k|})=0 tu as,vu que c'est une somme de réels positifs,que
\{{\forall j\in\{1,..n}}\\a_{kj}(1-\frac{|x_j|}{|x_k|})=0 et donc que a_{kj}=0 pour tous les indices j tels que |x_j|<|x_k| et ainsi dans la somme
L=\Bigsum_{j=1}^{j=n}a_{kj}\frac{x_j}{x_k} il ne restera que les indices j tels que |x_j|=|x_k| (et il y'en a au moins un puisque \Bigsum_{j=1}^{j=n}a_{kj}=1 )
et on voit alors que
L est barycentre à coefficients positifs de nombres complexes de module 1 et comme L est elle m^me de module 1 ces nombres complexes valent tous L
(C'est le point le plus délicat de la démonstration et il faut bien le comprendre tu peux faire un dessin pour le voir)
ainsi tu vois bien qu'il existe au moins un indice j tel que \frac{x_j}{x_k}=L si on le note k_1 on a bien 3$\blue x_{k_1}=Lx_k.

Posté par niniecrap (invité)re : SOS matrices stochastiques 25-08-05 à 21:08

Merci beaucoup pour tout ca je vais le lire attentivement et voir si je m'en sort, mais c'est pas gagné : ce n'est que la premiere partie d'un de mes trois problemes ........

merci encore

Posté par niniecrap (invité)re : SOS matrices stochastiques 25-08-05 à 22:52

Ben voila, j'arrive pô .......
je suis désolée mais les barycentres ca ne me parle pas. vraiment je comprends pô !
help stp .........

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : SOS matrices stochastiques 25-08-05 à 23:41

je te fais un dessin:
z et z' sont deux complexes de module 1,l'ensemble de leur barycentres à coefficients positifs n'est autre que le segment [z,z'] et tu vois bien que les seules points de ce segment qui soient de module 1 sont z et z' donc si
L=tz +(1-t)z' avec t\in[0,1] vérifie |L|=1 on a nécéssairement L=z ou L=z'
ce raisonnement se généralise par récurrence au cas de mcomplexes z_1,..,z_m

SOS matrices stochastiques

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : SOS matrices stochastiques 26-08-05 à 02:06

Une petite réctification:
L est barycentre à coefficients positifs de nombres complexes de module 1et comme L est elle m^me de module 1 un au moins de ces nombres complexes vaut L.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : SOS matrices stochastiques 26-08-05 à 06:59

Je vais maintenant montrer que L est racine de l'unité,pour cela remarquons que le x_{k_1} qu'on vient de trouver vérifie:
2$\blue\fbox{|x_{k_1}|=|x_k|=\max_{1\le j\le n}|x_j|} donc il peut jouer le role de x_k et on pourra par conséquent refaire le raisonnement précédent pour x_{k_1} et trouver ainsi un x_{k_2} tel que
2$\fbox{x_{k_2}=Lx_{k_1}=L^{2}x_k} et comme on a de nouveau 2$\blue\fbox{|x_{k_2}|=|x_k|=\max_{1\le j\le n}|x_j|} on peut trouver un x_{k_3} tel que 2$\fbox{x_{k_3}=Lx_{k_2}=L^{2}x_{k_1}=L^{3}x_k} et...
et vu que le nombre des x_k est \le n on est certain de retomber sur un x_{k_j} figurant déjà dans la liste \{x_{k_1},x_{k_2},x_{k_3},.., x_{k_{j-1}}} et on aura donc que:
2$\fbox{x_{k_j}=L^{s}x_{k_j}} avec (1\le s\le j)
en simplifiant par x_{k_j}\neq0 on a finalement que:
2$\red\fbox{\{{\exists s\in\{1,..,n}\}\\L^{s}=1}
CQFD

Posté par niniecrap (invité)re : SOS matrices stochastiques 26-08-05 à 11:14

Merci beaucoup, je ne me suis pas servi de la notion de barycentre pour montrer l'existence de xk1 mais la suite m'a ete très utile ...
je vais maintenant attaquer la suite du probleme, je crois que j'en encore pour plusieurs bonnes heures ...
Merci beaucoup et a +


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