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Sous anneau de Q

Posté par
Vantin 14-11-22 à 22:49

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice:

Soit S= \{ \frac{a}{b} | a,b \in \Z \} avec b impair un sous-anneau de Q qui est un anneau intègre.

1) Déterminer S^{\times}
2)Montrer que \pi = \frac{2}{1} est irréductible dans S puis que S est un domaine de factorisation unique dans lequel tous les éléments irréductibles sont associés à π.

1)
Soit \frac{a}{b} \in S.
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = 1  \Rightarrow c=b \wedge d=a
Donc \frac{a}{b} est inversible seulement si a est impair.
S^{\times}= \{ \frac{a}{b} | a,b \in \Z-2\Z \}

2) On a montré qu'être inversible implique que le numérateur est impair.
En regardant la définition d'irréductible:
x est irréductible si x\ne 0, x \notin S^{\times}, x=ab \Rightarrow a \in S^{\times} \vee b \in S^{\times}

On voit donc qu'être irréductible implique que le numérateur est pair car s'il était impair ça en fait automatique un inversible or un irréductible n'est pas inversible.
Donc soit \frac{a}{b} \in S un élément irréductible,
\frac{a}{b} = 2^n \frac{c}{b}.
Si n>1 alors \frac{a}{b} = \frac{2^{n-1}}{1} \frac{2c}{b} donc \frac{a}{b} ne peut être irréductible puisqu'il est le produit de deux termes qui ne peuvent être irréductible,absurde.
Si n=0, absurde si a est impair.
Donc  \frac{a}{b} = \frac{2c}{b} c est forcément impair (sinon on est dans le cas n>1)  donc \frac{c}{b}  est inversible.
Donc je viens de montrer que tout nombre irréductible \frac{a}{b} = \frac{2c}{b} pour l'inversible \frac{c}{d} donc ils sont associés.

\frac{2}{1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{1}   et  \frac{1}{1} \in S^{\times} donc cet élément est bien irréductible.

Voilà il me reste à montrer que S est un DFU, auriez vous une méthodologie ?
Par exemple, je sais que dans un DFU, il y a équivalence entre nombre premier et irréductible, dois-je montrer cette équivalence pour conclure ou il y a un moyen plus simple ?

Posté par
carpediemre : Sous anneau de Q 14-11-22 à 23:42

salut

1/ je ne comprends pas trop

dans Q l'inverse de a/b est b/a

cet inverse appartient à S <=> a est impair

2/ déjà d'après 1/ p = 2/1 n'est pas inversible tout simplement ...

ensuite par la définition que tu rappelles si 2/1 n'était pas irréductible alors un impair diviserait 2

or le seul impair qui divise 2 est 1 = 1/1 qui est inversible dans S

ensuite je sais pas ce que signifie "être associé à" ...

Posté par
Vantinre : Sous anneau de Q 15-11-22 à 00:05

On dit que deux éléments a et b d'un anneau A qui diffèrent d'un inversible sont associés dans A (c'est-à-dire a = ub pour un élément u dans A^{\times}).

1) J'ai pris un élément de s, cet élément est inversible si lorsqu'il est multiplié par un autre élément de s le résultat vaut 1.
J'en ai déduis que cet élément par lequel je multiplie a/b est b/a et b/a est dans s si a est impair.

2) Je n'ai pas dis 2/1 était inversible, j'ai dis que 1/1 l'était. Et oui d'après 1 2/1 n'est pas inversible mais ce qu'on veut montrer c'est que 2/1 est irréductible donc pourquoi "tout simplement" peut être que je manque quelque chose.

Enfin ma preuve que 2/1 est irréductible est valable que si je montre que c'est un DFU car il faut que ça soit vrai pour tout produit ab et je l'ai fais que pour 1 seul.

Posté par
GBZMre : Sous anneau de Q 15-11-22 à 14:37

Bonjour,

Tout élément de S s'écrit de manière unique sous la forme u2^n avec u\in S^\times et n\geq 0.

Posté par
GBZMre : Sous anneau de Q 21-11-22 à 11:36

Allo Vantin ?

Posté par
Vantinre : Sous anneau de Q 21-11-22 à 12:15

Finalement, j'ai pu terminé l'exercice c'est pour cela que je n'ai pas donné de nouvelle mais merci !


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