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Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C).

Posté par
alexyuc 31-12-12 à 17:43

Bonjour,

Je suis sur un exercice qui commence à se corser et aucun de mes amis n'a réussi à le résoudre actuellement ^^ !

Tout d'abord, je ne sais pas si c'est utile pour cette question, mais on sait que une matrice
A \in M_n(\mathbb{C}) est nilpotente si et seulement si tr(A)=...=tr(A^n) = 0

Ensuite :
(G , \times) désigne un sous-groupe de GL_n(\mathbb{C}) pour lequel il existe un entier p>0 vérifiant :
\forall X \in G, X^p = I_n
E désigne le sous-espace de M_n(\mathbb{C}) engendré par la partie G.

Question :
Montrer qu'il existe un entier r>0 et une famille (M_1,...,M_r) d'éléments de G tels que (M_1,...,M_r) est une base de E=vect(G).

J'ai commencé par poser les bases, puis j'ai fait quelques réflexions :
Bases :

On doit trouver que E=vect(M_1,...,M_r) et que la famille est libre donc :

Il existe \lambda_1,...,\lambda_r \in \mathbb{K} tels que

\lambda_1 M_1 + ... + \lambda_r M_r = 0 \Longrightarrow \lambda_1=...=\lambda_r = 0


Idées :

1. E=vect(M_1,...,M_r)=vect(G)
Est-ce nécessaire de le remarquer ?

2. Soit k \in [[1,r]]. \forall k, \exists pk / {M_{k}}^{pk} = I_n  puisque M_k \in G
Peut-être que le   r que l'on doit trouver dépend de ces pk ?

Après je n'ai plus d'idées. Pourriez-vous me guider un peu s'il vous plaît ?

Merci de m'avoir lu jusqu'au bout, et merci pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 18:20

salut

il faudrait peut-être d&terminer la famille qui va convenir

je te prospose les matrices triangulaires supérieures (et/ou inférieures ??) M telles que la diagonale soit constituée de 1 et au dessus des 0 partout sauf en une cellule qui vaut 1 ....

Posté par
carpediemre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 18:21

les transvections quoi ...

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 18:37

Hum les transvections ? Je n'en ai encore jamais entendu parler... mais pourquoi pas commencer par ça ^^

Dans les questions d'après je dois prouver que si \lambda est une valeur propre de M \in G alors c'est une racine p-ième de 1. (c'est fait).
Ensuite, je dois prouver que tout élément de G est diagonalisable.

C'est donc pas un peu rapide de parler déjà des matrices triangulaires à cette question ?

Et pour commencer, comment justifier que je choisisse directement de telles matrices (les transvections), il doit y avoir une raison ? Je demande car comme je l'ai dit je n'en ai encore pas entendu parler.

Merci encore carpediem !

Posté par
GaBuZoMeure : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:15

E est le sous-espace vectoriel engendré par une partie G d'un espace vectoriel de dimension finie (M_n(K)).
La question me semble évidente, non ?

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:23

M_n(\mathbb{C}) pour être précis mais je ne pense pas que ça change grand chose.

Et bien non ça ne me semble pas évident. Qu'est-ce qui me permet de commencer en disant soient M des matrices triangulaires supérieures, plus précisément des transvections ?

Posté par
GaBuZoMeure : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:30

Cette histoire de transvections est complètement farfelue.

Voyons, tout de même : tu as un espace vectoriel de dimension finie et dedans une partie G (peu importe que ce soient des matrices vérifiant ci ou ça) qui engendre un sous-espace E. Ne peut-on pas extraire de G une base (forcément finie !) de E ?

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:37

Ce serait une base de cardinal inférieur à la dimension, donc ici n. On sait donc que r \leq n.

Mais il d'agirait de la base canonique de G ?

Je me suis pas mal embrouillé la tête avec un tas d'autres trucs surtout sur les matrices alors désolé si j'oublie l'essentiel et le plus simple :S

Posté par
GaBuZoMeure : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:40

Base canonique de G ??? Kesako ?

Posté par
GaBuZoMeure : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:45

Un petit truc en passant : la dimension de M_n(\C) n'est pas n...

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:46

Et bien je ne vois pas alors quelle base cela peut être

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:49

dim M_n(\mathbb{C}) = 2n^2 ?

Pour la base je ne vois pas du tout...

Posté par
GaBuZoMeure : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:51

Je n'ai toujours pas compris ce qu'est censé être "la base canonique" de G.

Personne ne te demande de trouver explicitement une base. Ne sais-tu pas que d'une famille génératrice on peut extraire une base ? Alors fais-le en exercice :
Soit V un espace vectoriel de dimension finie, A une famille génératrice de V. Montrer qu'on peut extraire de A une base de V.

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 19:54

Ok, je pense qu'il n'est pas inutile que je m'entraîne là dessus, je commence par voir ça et je comprendrai sûrement mieux !
Je ne sais pas ce qu'est censé être la base canonique de G... on ne doit surement pas la connaitre !

Posté par
lolo271re : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 20:00

dim Mn(C)  pour  n= 1  ça fait combien selon toi ?

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 31-12-12 à 20:10

@lolo271, je ne sais pas, malheureusement on ne travaille que sur M_n(\mathbb{K}) et je n'ai jamais eu à traiter ce cas aussi bizarre que cela puisse paraître.

@GaBuZoMeu
En cherchant j'ai retrouvé une proposition disant que si E est un espace vectoriel
Soit (x1,...,xp) une famille finie de p éléments de E
Le sous-ev de E engendré par (x1,...,xp) est l'ensemble des combinaisons linéaires de (x1,...,xp). (sup).

Pour la question avec V un espace vectoriel de dim finie, A une famille génératrice de V.
Si A est une famille libre, alors A est une base de V.
Mais ce genre de démo me pose toujours problème, je ne visualise pas les choses dans ma tête...

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 01-01-13 à 19:11

Bonjour,

Tout d'abord bonne année à tous ! Merci pour toute l'aide que vous m'avez apporté sur ce forum durant mon année de sup et le début de mon année de spé en 2012 ! .
Pour continuer sur cette question, j'ai eu le temps de prendre un peu de recul avec le réveillon et de revenir sur mes familles génératrices et sous-ev etc...

J'ai regardé la démonstration que me demandait de faire GaBuZoMeu mais je ne vais pas la détailler car elle est assez longue.
J'ai donc vu que si E est un espace vectoriel de dimension finie, et G=(e1,...,ek) une famille génératrice de E, on pouvait extraire de G une base de E.
En effet soit L l'ensemble des familles libres de E contenues dans G.
Soit B dans L, où B est une famille libre "maximale" (ou de cardinal maximal).
B=(e1,...,en) n \leq k

Soit j \in {n+1,...,k}
(e1,...,en,ej) est liée car B est une famille libre maximale.
Donc il existe (\lambda_1,...,\lambda_n,\lambda_j) non tous nuls tels que :

\lambda_1 e1 + ... + \lambda_n en + \lambda_j ej = 0

De plus, \lambda_j \neq 0 (sinon ils tous les \lambda seraient nuls)

Ainsi e_j est une combinaison linéaire de B.
vect(G) \subset vect(B)

Donc B est une famille génératrice de E.

Est-ce quasiment du copié collé de ce que je dois faire pour résoudre ma question ?

Posté par
GaBuZoMeure : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 01-01-13 à 20:52

Ici G peut être infini a priori, mais ça ne change rien à l'affaire : on peut bien en extraire une base de l'espace engendré, en prenant effectivement une partie libre maximale (qui sera finie puisqu'on est dans un espace de dimension finie). Au fait, tu as retrouvé la dimension de M_n(\C) ? Combien une matrice de taille n a -t-elle de coeffcients ?

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 02-01-13 à 00:09

D'accord merci pour le coup de main pour ma question.

Pour M_n(\mathbb{K}) je sais que la dimension est n^2 puisqu'une matrice de taille n a n x n coefficients.

Mais cela change pour M_n(\mathbb{C}) non ? Dans ce cas je ne connais pas la différence...

Merci encore

Posté par
GaBuZoMeure : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 02-01-13 à 09:51

Pourquoi est-ce que ça changerait ??? Une matrice complexe n\times n n'a pas elle aussi n^2 coefficients ? C'est bien de la dimension sur \C dont on parle.

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 02-01-13 à 11:05

Je suis bien d'accord qu'elle a n² coefficients. On ne parle quasiment jamais des matrices dans \mathbb{C}, je vois toujours que c'est dans \mathbb{K} dans les énoncés que je traite et ne me suis donc jamais posé la question de s'il y avait des propriétés différents pour les matrices dans \mathbb{C} mais il paraît en effet logique que la dimension est la même maintenant que tu me le dis !

Merci pour ton aide et les quelques précisions ! J'ai remarqué que ce qui cloche, c'est le programme de sup que j'ai oublié à moitié ! Merci de me l'avoir fait remarquer avec la démo par exemple

Bonne journée !

Posté par
lolo271re : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 02-01-13 à 11:33

C  est juste un K  particulier  !

Posté par
alexyucre : Sous-espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C). 02-01-13 à 16:26

Oui merci ^^ !

Cela dit, il y a des trucs qui changent entre M_n(\mathbb{C}) et M_n(\mathbb{K}) puisque mon prof passe des fois par M_n(\mathbb{C}) pour diagonaliser une matrice puis revient sur l'autre espace où la diagonalisation était compliquée. Enfin je reverrai ça de plus près !


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