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sous espace vectoriel

Posté par
elsa33000 03-12-21 à 10:59

Bonjour,

Nous cherchons à démontrer que Sn défini par y^(n)=y ou y^(n) désigne la dérivée n-ième de y est un sev de E= C^infini (R,C)

pour montrer que c'était non vide, on a utilisé que y=0 donc y^?n)=0 et donc Sn non vide.
Ou alors que y^(n)=y, en posant y^(n)=x, on a donc x=y
les éléments (1,1) et (-1,-1) appartiennent à Sn et leur somme (1,1)+(-1,-1)=(0,0) appartenant a Sn
Donc Sn sev

Nous ne savons pas si cela marche, en attente de vos réponses merci d'avance.

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : sous espace vectoriel 03-12-21 à 11:14

Bonjour,
C'est mieux de donner l'énoncé exact de la question.
Où est n ?
Pour justifier Sn non vide, je suis d'accord avec la première ligne si 0 désigne la fonction nulle.
Pas pour ce qui suit "Ou alors".
Si y est la fonction qui à tout x réel associe x, alors y' est la fonction constante égale à 1 ; et toutes les fonctions dérivées qui suivent sont nulles.
Ne pas perdre de vue qu'on parle de fonctions.
(1,1) et (-1,-1) n'ont rien à voir avec des fonctions.

Posté par
Ulmierere : sous espace vectoriel 03-12-21 à 11:17

Oui pour montrer que S_n est non vide, non pour le reste.

Traite le cas où n = 0 à part !
Pour n\geqslant 1, maintenant

* D'abord, il faut montrer que S_n est inclus dans C^\infty. Si je prends y\in S_n, par définition y est dérivable n fois en tout point, donc au moins continue. Et comme sa dérivée n-ième y^{(n}} = y, que peux-tu dire de la régularité de y ? Sers-toi ensuite de ça pour montrer que y est infiniment dérivable par récurrence.

* Ensuite, la stabilité par combinaisons linéaires est une conséquence de la linéarité de l'opération de dérivation sur C^\infty

Posté par
elsa33000re : sous espace vectoriel 03-12-21 à 11:28

Sylvieg @ 03-12-2021 à 11:14

Bonjour,
C'est mieux de donner l'énoncé exact de la question.
Où est n ?
Pour justifier Sn non vide, je suis d'accord avec la première ligne si 0 désigne la fonction nulle.
Pas pour ce qui suit "Ou alors".
Si y est la fonction qui à tout x réel associe x, alors y' est la fonction constante égale à 1 ; et toutes les fonctions dérivées qui suivent sont nulles.
Ne pas perdre de vue qu'on parle de fonctions.
(1,1) et (-1,-1) n'ont rien à voir avec des fonctions.


Merci pour votre réponse.

n>=1 et il nous reste à trouver que pour x,y appartenant à Sn x+y appartient à Sn et que un scalaire lambda * x appartient à Sn

on pose x^(n)=x et y^(n)=y alors x+y=x^(n)+y^⁽n) alors cela appartient a Sn
De même, lambda * x= lambda * x^(n) donc appartient lui aussi a Sn.

Posté par
elsa33000re : sous espace vectoriel 03-12-21 à 11:30

Ulmiere @ 03-12-2021 à 11:17

Oui pour montrer que S_n est non vide, non pour le reste.

Traite le cas où n = 0 à part !
Pour n\geqslant 1, maintenant

* D'abord, il faut montrer que S_n est inclus dans C^\infty. Si je prends y\in S_n, par définition y est dérivable n fois en tout point, donc au moins continue. Et comme sa dérivée n-ième y^{(n}} = y, que peux-tu dire de la régularité de y ? Sers-toi ensuite de ça pour montrer que y est infiniment dérivable par récurrence.

* Ensuite, la stabilité par combinaisons linéaires est une conséquence de la linéarité de l'opération de dérivation sur C^\infty


Merci pour votre réponse
C'est a partir de n=1 et nous ne comprenons pas comment démontrer que c'est un sev à l'aide d'une récurrence.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : sous espace vectoriel 03-12-21 à 11:41

Comment est-il dit que n est un entier ?
Je répète qu'un énoncé recopié du premier au dernier mot est préférable à "Nous cherchons à démontrer".

C'est maladroit de noter x une fonction ...
Note plutôt y1 et y2 les deux fonctions.
Je ne vais plus être disponible ; mais Ulmiere, que je salue, va poursuivre.

Posté par
malou Webmasterre : sous espace vectoriel 03-12-21 à 12:18

Bonjour à tous
elsa33000, tu es en licence maths ou pas s'il te plaît ?
merci

Posté par
Ulmierere : sous espace vectoriel 03-12-21 à 14:34

elsa33000 @ 03-12-2021 à 11:30

Ulmiere @ 03-12-2021 à 11:17

Oui pour montrer que S_n est non vide, non pour le reste.

Traite le cas où n = 0 à part !
Pour n\geqslant 1, maintenant

* D'abord, il faut montrer que S_n est inclus dans C^\infty. Si je prends y\in S_n, par définition y est dérivable n fois en tout point, donc au moins continue. Et comme sa dérivée n-ième y^{(n}} = y, que peux-tu dire de la régularité de y ? Sers-toi ensuite de ça pour montrer que y est infiniment dérivable par récurrence.

* Ensuite, la stabilité par combinaisons linéaires est une conséquence de la linéarité de l'opération de dérivation sur C^\infty


Merci pour votre réponse
C'est a partir de n=1 et nous ne comprenons pas comment démontrer que c'est un sev à l'aide d'une récurrence.



Attention, n est fixé, de même que y\in S_n !
La démonstration par récurrence ne porte pas sur n, mais sur les k tels que y est de classe C^k

Pour montrer que y est C^\infty, l'idée est de montrer que y est C^{kn} pour tout k\geqslant 0.

Citation :
Initialisation (pour k = 0)
[insérez ici ce qu'il faut]

Hérédité : on suppose que y est de classe C^{kn}, montrons qu'elle est alors de classe C^{k(n+1)}
[insérez ici ce qu'il faut]

Conclusion : y\in \bigcap_{k=0}^\infty C^{kn} = C^\infty

Posté par
Ulmierere : sous espace vectoriel 03-12-21 à 14:38

Erratum dans l'hérédité !!!!

"montrons qu'elle est alors de classe C^{(k+1)n}"


Je regardais si tu suivais

Posté par
Sylvieg Moderateurre : sous espace vectoriel 03-12-21 à 15:18

@Ulmiere,
Je ne pense pas qu'il soit nécessaire de démontrer que y est dans E= C^infini (R,C).
Il est probable que l'énoncé donne une définition de Sn qui commence par "l'ensemble des éléments de E tels que...".
Mais tant que elsa33000 persiste à ne pas recopier l'énoncé de la question du 1er au dernier mot sans rien omettre, difficile d'apporter une aide pertinente.

Posté par
etniopalre : sous espace vectoriel 03-12-21 à 16:19

   Pour tout n entier naturel , Dn  - Id est un endomorphisme du -ev  E := C(,)


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