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Sous-espaces stables

Posté par
Haj
07-10-11 à 00:16

Bonsoir,

J'ai un devoir maison dont une partie concerne les sous-espaces stables et autant dire que je rame un peu à partir d'un moment... Si vous avez des indications je suis preneur !

On pose E = n (où n 2). Soit u L(E),nilpotent d'indice n.

1.(a) Montrer que Ker(ui) est un sous-espace vectoriel de dimension i, pour 0in

(b) Soit F E un sous-espace stable par u. On pose i = dim(F). Montrer que F Ker(ui). Conclure. (NB : La conclusion est que les sous espaces stables par u sont les Ker(ui)).

(c) Soit un réel, décrire tous les sous-espaces stables par u + id (Ce sont aussi les Ker(ui)).

Et à partir de là je bloque...

2. On considère la matrice A =
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2

(a) Justifier que tout sous-espace stable F se décompose sous la forme

F = (FKer(A-I)2)(FKer(A-2I)2)

Ca ressemble au lemme des noyaux mais je n'arrive pas à l'exploiter ! J'ai pensé à utiliser une base adaptée à F, sans grand sucès...

(b) Quels sont les sous-espaces stables inclus dans Ker(A-I)² ? dans Ker(A-2I)² ? (On notera (e1,...,e4) la base canonique de 4)

(c) En déduire tous les espaces stables par A. Combien y en a-t-il ?

3. Soit B la matrice
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1

Justifier qu'il y a une infinité de sous-espaces stables par B.


J'aurais besoin d'un petit déclic pour la 2.(a) !

Merci d'avance et bonne soirée

Posté par
perroquet
re : Sous-espaces stables 07-10-11 à 02:40

Bonjour.

On vérifie d'abord que    (A-I)2 (A-2I)2 = 0
Si on note a l'endomorphisme canoniquement associé à A, sa restriction aF à F vérifie:
(aF-IF)2(aF-2IF)2=0

On applique le théorème de décomposition des noyaux associé à cette égalité, et on remarque ensuite que:
ker(aF-IF)2)= F ker((A+I)2) ...

Posté par
Haj
re : Sous-espaces stables 07-10-11 à 12:34

Bonjour,
Merci pour votre réponse. C'est peut-être évident mais je n'arrive pas à justifier convenablement la dernière remarque

Posté par
perroquet
re : Sous-espaces stables 07-10-11 à 20:58

Pour un endomorphisme u et un sous-espace F stable par u:
ker(uF)=ker(u)F

Posté par
Haj
re : Sous-espaces stables 07-10-11 à 22:37

En effet, merci ! J'ai un petit problème pour la 2.b...

Quels sont les sous-espaces stables inclus dans Ker(A-I)² ? dans Ker(A-2I)² ? (On notera (e1,...,e4) la base canonique de 4)

Je considère F un sous-espace stable inclus dans Ker(A-I)². Alors : FKer(A-I)² = F
D'après la question précédente, F se décompose sous la forme :

F = F(FKer(A-2I)²)

Nécesairement : FKer(A-2I)² = {0} soit : F = {0}

Il y a sans doute une énorme erreur de raisonnement dans ces lignes, mais je ne parviens pas à la trouver

Merci d'avance

Posté par
perroquet
re : Sous-espaces stables 08-10-11 à 07:22

Il n'y a pas d'erreur de raisonnement, mais une faute dans la dernière inégalité. On obtient:
F=F\oplus \{0\}=F
La faute étant rectifiée, on voit que ce raisonnement ne permet d'obtenir aucune information. Que faut-il faire?

Je donne une indication: utiliser la première question.

Posté par
Haj
re : Sous-espaces stables 08-10-11 à 12:22

Si je veux utiliser la question 1, il me faudrait un endomorphisme nilpotent
Le seul endomorphisme nilpotent que j'ai trouvé est (a-i)(a-2i), avec [(a-i)(a-2i)]² = (a-i)²(a-2i)² = 0  (en notant a l'endomorphisme canoniquement associé à A)

D'après 1.b, les sous epaces stables par (a-i)(a-2i) sont {0}, ker(a-i)(a-2i) et E.
Or, (a-i)(a-2i) = a² - 3a + 2i donc : (a-i)(a-2i) - 2i = a² - 3a = a(a-3i)

D'après 1.c, les sous espaces stables par a(a-3i) sont aussi {0}, ker(a-i)(a-2i) et E.

Je n'arrive pas à aller plus loin en empruntant cette voie là...

Il faut que je trouve les sous espaces stables inclus dans Ker(A-I)². Ni A, ni A-I n'est nilpotent, mais je peux quand même utiliser "directement" la question 1 ?

Posté par
perroquet
re : Sous-espaces stables 08-10-11 à 16:55

(a-i)(a-2i) est bien nilpotent, mais son indice de nilpotence, qui vaut 2, n'est pas égal à la dimension de l'espace, qui vaut 4. On ne peut donc pas lui appliquer le résultat de la question 1.

Par contre, la restriction de   a-2i   à   ker(a-2i)2   est nilpotente, d'indice de nilpotence égal à 2, qui est égal à la dimension de  ker(a-2i)2. On peut donc lui appliquer le résultat de la première question.

Posté par
Haj
re : Sous-espaces stables 08-10-11 à 23:04

Je crois que je suis un peu perdu, si j'ai bien compris on en déduit que les sous-espaces stables par (a-2i) (restreint à ker(a-2i)² = Vect(e3,e4)) sont {0}, ker[(a-2i) restreint à Vect(e3,e4)] et Vect(e3,e4) ? (d'après 1.b)

Ce sont aussi les sous espaces stables par u restreint à Vect(e3,e4) (question 1.c). On a donc trouvé tous les sous-espaces stables inclus dans Vect(e3,e4) ?

Posté par
perroquet
re : Sous-espaces stables 08-10-11 à 23:33

La réponse à la question posée dans le dernier post est: oui.

C'est la dernière fois que je donne une réponse dans ce topic parce que je ne veux pas faire tout l'exercice.



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