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Sous-espaces vectoriels

Posté par Profil mps2018 23-02-21 à 21:55

Bonsoir/Bonjour à tous,

J'ai un exercice en maths que je ne sais pas comment m'y prendre dans la résolution.

Voici ci-dessous l'énoncé :


Soient L, M, N trois sous-espaces vectoriels de E. A-t-on :
L \bigcap{(M+N)} = L \bigcap{}M + L \bigcap{} N
   ?

Je ne vois pas trop comment je pourrais répondre à cette question,
Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider ?

Posté par
lionel52
re : Sous-espaces vectoriels 23-02-21 à 22:11

Hello ! Pense au plan, à 2 droites orthogonales et une autre droite au pif

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 23-02-21 à 22:34

Bonsoir,

Je sais qu'il n'y a pas égalité mais je ne sais pas comment le montrer, enfin comment l'écrire en utilisant un plan avec trois droites comme vous le dite ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 23-02-21 à 23:26

Bonsoir,

Tu cherches un exemple avec trois sous-espaces, lionel 52 te donne trois droites dans le plan et tu ne vois pas quoi en faire ?

Posté par
matheuxmatou
re : Sous-espaces vectoriels 23-02-21 à 23:27

bonsoir

fais-le !

E=²

L,M,N : 3 droites vectorielles distinctes...

Posté par
matheuxmatou
re : Sous-espaces vectoriels 23-02-21 à 23:27

(bonsoir GBZM...)

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 00:08

Bonsoir,

Ce type d'exercice n'est pas mon point fort dans l'algèbre linéaire, c'est pour ça que j'ai du mal à visualiser comment faire...
J'ai du mal à voir quoi prendre comme "droites vectorielles distinctes"
pourriez-vous m'offrir des indications ? car je n'arrive pas à voir comment y procéder ... ?

Posté par
matheuxmatou
re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 00:29

faut arrêter de causer là !

tu peux pas me donner l'équation d'une droite vectorielle du plan ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 21:08

Bonsoir,

étant donnée que nous sommes dans R^2 on peut prendre comme équation d'une droite vectorielle du plan x+y = 0 ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 21:20

Je ne sais pas si mon raisonnement est bon mais :
comme on a L, M et N, on prend alors
x = 0 pour L,
y = 0 pour M
et 2x = 0 pour N

Comme y a intersection alors c'est bien des sous-espaces vectoriels pour L ∩ M et L∩N
mais pour L∩(M+N) je ne vois pas trop ? Enfin, on n'obtiens pas la même chose pour L∩(M+N) et L∩M + L∩N

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 21:41

Ton exemple ne marche pas : as-tu remarqué que tu prends en fait N=L ?
Modifie ton exemple, et fais un dessin.

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 21:47

Bonsoir GBZM,

Oui, j'avais remarqué mais je me suis dit que comme on est dans R2, on prend que x et y.
Du coup si on prend
x = 0 pour L,
y = 0 pour M,
et z = 0 pour N cela marche-t-il ?
ou sinon prendre x+y = 0 pour N ?
cela marche aussi car c'est un sous-espace vectoriel ou non ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 21:54

M'enfin, il n'y a pas que deux droites vectorielles (= droites passant par l'origine) dans [tex]\R^2[/tex] !
As-tu fait un dessin pour comprendre ce qui se passe ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 22:13

Bonsoir GBZM

J'essaye de faire un dessin :
j'ai pris x(1;0) y(0;1) et je ne vois pas du coup quoi prendre pour la trosième droite disons z = x + y ? avec z(1;1) ?
pourriez-vous m'éclairer ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 22:16

Voila maintenant que tu confonds des droites et des points ?

Les droites vectorielles du plan sont les droites d'équation y = ax (ou a est un réel, la pente de la droite), plus la droite verticale x=0.

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 22:24

Bonsoir GBZM,

mais du coup, ça veut dire que ce que je disais avant avec x = 0 pour L etc
n'est pas bon ?
Enfin, je commence à mélanger mais ca veut dire qu'on peut prendre
z = x+y pour L∩M + L∩M    avec x appartenant à L ∩M et y appartenant à L ∩N ?
je ne sais pas si ce raisonnement est bon pour que je puisse arriver à aboutir à quelque chose de concret pour faire un dessin de la situation ? car je ne vois pas trop comment faire un dessin avec x = 0 et y = 0 car on aboutit à rien ?
Merci pour vos aides !!

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 22:38

Oui, tu mélanges beaucoup et il est difficile de donner du sens à ce que tu écris.


Sous-espaces vectoriels

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 22:42

Bonsoir GBZM,

Merci beaucoup pour le dessin mais pourriez-vous m'expliquer du coup comment vous avez procèder pour le tracer ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 22:46

J'ai tracé trois droites passant par l'origine. Est-ce un tel exploit ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 22:58

Bonsoir GBZM,

Oui, en effet, je viens de comprendre votre tracé.
Mais du coup je ne vois pas tellement comment je pourrais expliquer cela par l'écrit ?
Enfin, je me suis mélangé les idées avec ce que je disais avant et je n'arrive plus ou pas trop à voir.
Il n'y a pas d'égalité car L∩(M+N) n'est pas égale à L∩M +L∩N mais je ne sais pas comment le prouver

Posté par
matheuxmatou
re : Sous-espaces vectoriels 24-02-21 à 23:04

faut pas plaisanter ! GBZM te donne un exemple...

c'est quoi M+N ?
c'est quoi L(M+N) ?
c'est quoi LM ?
c'est quoi LN ?
c'est quoi LN+LM ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 21:02

Bonsoir matheuxmatou,

M+N c'est la somme de deux sous-espaces vectoriels
L∩(M+N) c'est l'intersection d'un espace vectoriels avec la somme de deux sous-espaces vectoriels ?
L∩M c'est l'intersection d'un sous espace vectoriel L avec un autre s.e.v M
L∩N c'est l'intersection d'un sous espace vectoriel L avec un autre s.e.v N
L∩N + L∩M c'est la somme de l'intersection des s.e.v L et N et de L et M ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 21:32

Heu ...

Tu ne penses pas que ce qu'on te demande, c'est d'identifier, sur l'exemple illustré qui t'es donné, qui sont ces différents sous-espaces de \R^2 ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 21:38

Bonsoir GBZM,

M + N c'est la somme des deux sous-espaces vectoriels si on dit que x = 0 pour M et y = 0 pour N on aura x + y ?
De même pour les différentes intersections ? on aura x et y ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 21:59

On a vraiment l'impression que ce que tu écris n'a aucun sens pour toi.

Voyons, peux tu nous dire quels sont les sous espaces vectoriels de \R^2 ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 22:08

Bonsoir GBZM,

J'essaye de comprendre mais j'ai du mal avec cette notion de l'algèbre linéaire.

Les sous-espaces vectoriels de R2 ce sont des droites vectorielles qui passent par l'origine dans l'exemple que vous m'avez donnée cela correspond aux droites de L, M et N qui passent du coup par l'origine

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 22:12

Les droites vectorielles (= droites passant par l'origine) sont des sous-espaces vectoriels de \R^2.
Est-ce que ce sont les seul sous espaces vectoriels ?
Qu'est-ce que la somme de deux droites vectorielles distinctes dans \R^2 (reviens à la définition de la somme de sous-espaces vectoriels) ?
Qu'est-ce que l'intersection de deux droites vectorielles distinctes ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 22:19

Bonsoir GBZM,

Ce ne sont pas les seuls sous espaces vectoriels, l'intersection de deux droites vectoriels de R2 est aussi un sous espace vectoriel de R2 ?
La somme de deux droites vectorielles distinctes dans R2 est un plan vectoriel.
L'intersection de deux droites vectorielles distinctes dans R2 est le sous-espace vectoriel nul ?

Posté par
matheuxmatou
re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 22:42

que de blabla !

et si tu essayais de répondre clairement à ce qu'on e demande pour t'aider ?

matheuxmatou @ 24-02-2021 à 23:04

faut pas plaisanter ! GBZM te donne un exemple...

c'est quoi M+N ?
c'est quoi L(M+N) ?
c'est quoi LM ?
c'est quoi LN ?
c'est quoi LN+LM ?

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 25-02-21 à 22:59

Bonsoir matheuxmatou,

Du coup :

M+N  veut dire que la somme de ces deux droites vectorielles forment un plan dans R2 , plus précisement M+N = R2 ? [M+N veut dire aussi que c'est le plus petit sous-espace vectoriel  contenant M et N ?]

L∩(M+N)   veut dire que qu'on a l'intersection d'un sous espace vectoriel avec le plus petit sous-espace vectoriel contenant M et N ?

L∩M = vecteur nul
L∩N = vecteur nul
L∩N +L∩M = vecteur nul + vecteur nul = vecteur nul ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 10:03

On commence à voir le bout du tunnel.

Oui, M+N=\R^2 : tout vecteur de \R^2 peut s'écrire comme somme d'un vecteur de M et d'un vecteur de N.

Sous-espaces vectoriels

Ensuite, qu'est-ce que L\cap(M+N)= L\cap \R^2 ?

Enfin, quand tu écris LM = vecteur nul, ce n'est pas tout à fait correct. L'intersection de L et de M, c'est le sous-espace nul, dont le seul élément est le vecteur nul. Vois-tu la nuance ?

Posté par
matheuxmatou
re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 10:04

que c'est long et verbeux !

M+N  = ² Ok
L(M+N) = ... on ne sait toujours pas !

LN+LM = {0} Ok

Posté par
matheuxmatou
re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 10:05

(pardon GBZM ... je n'avais pas vu que tu étais connecté. Je te laisse finir... bonne journée)

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 16:20

Bonjour matheuxmatou, GBZM,

L∩(M+N) = L∩R2 = L ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 16:25

Ben oui !

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 16:28

Bonjour GBZM,

Du coup pour la rédaction je dois procéder comment ?
Car au debut vous m'avez dit de prendre trois droites vectoriels distinctes dans R2, enfin je dois prendre quoi comme droites car j'ai compris maintenant avec les différentes intersections et pourquoi y a pas égalité mais je ne vois pas comment je pourrais montrer ça rigoureusement en mathématique ? Si vous pouvez m'aider ?

Posté par
GBZM
re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 17:30

Le seul problème est de démontrer :
- que la somme de deux droites vectorielles distinctes dans \R^2 est \R^2.
- que l'intersection de deux droites vectorielles distinctes est le sous-espace nul.

Ça se démontre parfaitement rigoureusement en toute généralité.
Si ça te semble trop difficile pour toi, tu fixes trois droites vectorielles dans \R^2 (fais simple !) et tu calcules.

Posté par Profil mps2018re : Sous-espaces vectoriels 26-02-21 à 20:44

Bonsoir GBZM,

Merci beaucoup pour votre aide !!!



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