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Niveau Maths sup
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Sous-groupe cyclique...

Posté par
Louloopings
13-02-23 à 22:54

Bonjour,
J'ai une question plutôt général :
Est ce que un sous groupe est toujours un sous groupe engendré par un element du groupe de base ?
Si oui, est ce que on peut donc affirmer que tt sous groupe d'un groupe cyclique est cyclique de manière rapide car nécessairement, il serait alors un groupe engendrée par un éléments d'ordre finis et serait donc monogène et d'ordre fini, donc cyclique ?
Ou alors je me fait juste des idée car je débute l'algèbre
Merci de vos réponses !

Posté par
GBZM
re : Sous-groupe cyclique... 13-02-23 à 23:10

Bonsoir,
Non, un sous-groupe d'un groupe n'est pas toujours engendré par un élément de ce groupe.
Par exemple si tu prends le groupe additif  (\mathbb Z/2\mathbb Z)^2, le sous-groupe formé du groupe entier n'est pas engendré par un seul élément !
Ou encore, le sous-groupe du groupe symétrique \mathfrak S_4 formé des permutations paires n'est pas engendré par une seule permutation.
Par contre, tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. Mais ça demande une vraie démonstration .



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