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Sous groupe de GLn(|K)
Bonjour/Bonsoir,
Enoncé :
Soit G une partie de Mn(|K) L'ensemble des matrices carrés d'ordre n
telle que (G, . ) soit un groupe . Donner un exemple où G n'est pas un sous-groupe de (GLn(|K), . )
Il m'a été demandé de trouver cet exemple, après avoir longuement réfléchis j'ai finis par aller voir la réponse qui disait :
L'ensemble des matrices carrées diagonales d'ordre deux dont le premier coefficient diagonal est non nul et le second =0.
Mais je n'ai pas saisis l'idée : la matrice
n'est pas inversible alors qu'il faut que chaque élément ai son inverse pour qu'on puisse parler de groupe, mais on a fini par me dire que l'élément neutre ne coïncide pas ici avec I_n la matrice identité. Alors quel est l'inverse de cette matrice ? Et par rapport à quel élément neutre ?
salut
avoir un inverse (....) ne signifie pas être inversible(...) ... parce que même si l'opération est la même (produit de matrices) les ensembles considérés ne sont pas les mêmes ...
PS : les deux (...) sont à compléter ...
Désolé j'ai du mal à compléter 
Si elle admet un inverse et c'est un groupe ça n'est pas inversible ? (Svp des exemples sont plus parlants)
avoir un inverse dans G ne signifie pas être inversible dans Gl_n(K) ... parce que même si l'opération est la même (produit de matrices) les ensembles considérés ne sont pas les mêmes ...
Je bloque à cette idée là :
G appartient à l'ensemble des matrices carrés, et chaque élément de G admet un inverse par rapport à la loi produit car G un groupe
Donc quelque soit A appartenant à G il doit exister un B appartenant à G :
AB=BA=l'élément neutre qui est I_n
car tout sous groupe possède le même élément neutre que le groupe à qui il appartient
Bonsoir,
C'est là qu'est l'os :
l'élément neutre qui est I_n
L'élément neutre pour la structure de groupe sur G n'est pas forcément I_n.
Quel est l'élément neutre pour la multiplication dans le G qui t'es donné dans le corrigé ?
Quel est l'élément neutre pour la multiplication dans le G qui t'es donné dans le corrigé ?
Il n y en a pas, il n y a que l'exemple malheureusement :/
Pourquoi ce n'est pas forcement I_n ? C'est un sous groupe donc il devrait avoir le même élément neutre que le groupe principale non ?
Bonsoir,
Soit
Que penser du produit
C'est un produit stable dans l'ensemble
ne vois-tu pas quel est l'élément neutre ?
Oui c'est bien lui ! Merci infiniment !
Est-ce que vous pouvez me dire si cette proposition est bien juste ?
" L'élément neutre d'un groupe se trouve aussi dans tout les sous groupes de ce groupe"
"sous groupes de ce groupe"
Il n'y a pas de sous groupe dans cet exemple.
(Mn(K),.) n'est pas un groupe.
(GLn(|K), . ) est un groupe avec GLn(|K) inclus dans Mn(K)
(G,.) en est un autre.
GLn(|K) et G sont disjoints.
Bonjour,
Tu ne m'as pas ennuyée du tout 
Nous ne répondons que si nous en avons envie.
Je préfère quelqu'un qui cherche à vraiment comprendre que quelqu'un qui se contente d'une réponse toute faite.
Une remarque :
Dans un groupe où la loi est notée multiplicativement, on a
A
B = AE 
B = E.
Donc si E est neutre, AB = A B = E.
Alors que, dans les matrices de ton corrigé, on a :
MaM1 = MaI2 = Ma avec M1 et I2 distincts. On n'est pas dans un groupe.
Rappel de ma notation :
( Et )
Bonjour,
Si je peux me permettre :
"On n'est pas dans un groupe" est une formulation pas très précise et qui risque de prêter à confusion. Le sous-ensemble de
est stable par multiplication, et la multiplication munit bien
d'une structure de groupe (isomorphe au groupe multiplicatif de
).
Mais ce groupe est disjoint du groupe des inversibles de ,
n'est pas un sous-groupe de
.
Non, c'est un monoïde, et n'est pas un morphisme de monoïdes, juste un morphisme de magmas (j'étale ma science
).
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