Bonsoir,
contient l'élément neutre. Son image réciproque par ne contiendrait-elle pas le noyau de , qui est ... ?

Bonsoir et merci pour votre réponse.
Néanmoins, j'avoue ne pas voir ou l'étude de Ker() va nous mener...
On a donc e_G qui est dans G
Ainsi on a alors Ker() = {y dans Z , (y)=e_Z/nZ}
cad Ker() = {y dans , y 0[n]}
donc si Ker() est contenu dans ^(-1)(G) on tombe sur un truc totalement absurde. non ? Je suis conscient que je dois certainement dire quelques chose d'horriblement faux. Comme je l'ai dis, je débute en algèbre et j'avoue que j'éprouve pas mal de difficultés a m'y accommodé

Ok j'ai chercher et j'ai trouver un truc intéressant :
On a donc belle et bien Ker() contenu dans l'image réciproque de G, on en déduit donc l'implication que G sg de /n => ^(-1)(G) contient n. j'ai donc une question a ce niveau :
1 - A quelle moment peut on dire qu'un groupe en contient un autre (car on sait que pour Z/6Z la solution, est Z/3Z mais pour moi Z/3Z = (0,1,2)  ne contient pas Z/6Z = (0,1,2,3,4,5).
Merci d'avance !

ah oui encore une dernière question,
Dans les indication/correction de l'exercice il y'a simplement marqué
"on peut le faire a la main ou (plus dur)  remarqué l'implication  sur ^(-1)(G)" (correction plutôt minimaliste effectivement.
Bref je ne comprend pas quelle méthode vraisemblablement plus facie il évoquait avec "le faire a la main" si quelqu'un a une idée et pourrait me montrer la démarche, ce serait sympa
mercii

Tu passe de " contient " (inclusion entre sous-groupes additifs de ) à des histoires avec et .  Mais ces derniers ne sont pas des sous-groupes de ! Ce sont des quotients, ce n'est pas du tout la même chose.
Quelle est la forme des sous-groupes additifs de ? À mon avis, c'est expliqué dans ton cours, ou dans un exercice précédent. Non ?
Ensuite, si on a deux sous groupes et , l'inclusion est équivalente à quelle relation entre et ?

Bonjour,
Oui effectivement il y'a plusieurs zones d'ombres dans mon raisonnement ,
Les ssgrp de sont les n (j'ai appris a démontré le résultat il y'a peu). Voici néanmoins les endroits ou je bloque/suis pas sur du tt :

- j'ai compris que on étudie ici non pas les groupes quotients mais ceux "d'origine ?" (ont-ils un nom particulier ?) Si je comprend bien on montrera donc d'abords que les seuls groupes d'origine candidats sont les d avec d divise n, on les projette ensuite dans leur groupe quotient ce qui nous donne les d/n qui sont en appliquant un morphisme : x (1/d)x  les groupe /(n/d) (je ne sais d'ailleurs pas si ce morphisme est valide et s'il justifie l'égalité.)

- Je crois en déduire que on peut dans ce cas précis dire que n d si d divise n mais de manière général je n'en sais rien, qu'elles seraient par exemple les groupes qui contiennent S3 ? (Et d'ailleurs peut on parlé de groupe quotient pour s3 ? existe-il alors un "groupe d'origine" ? )

Merci de vos réponses !

À partir d'un groupe , on peut fabriquer deux sortes de groupes liés à :
1°) Les sous-groupes de . L'inclusion d'un sous-groupe dans le sous-groupe est un morphisme de groupes injectif de but .
2°) Les groupes quotients de (quotients par un sous-groupe distingué ). Le passage au quotient est un morphisme de groupes surjectif de source .
Les deux situations sont en quelque sorte duales, et il faut bien les distinguer. J'ai l'impression que la distinction n'est pas claire pour toi. Par exemple quand tu écris "qu'elles seraient par exemple les groupes qui contiennent S3 ? (Et d'ailleurs peut on parlé de groupe quotient pour s3 ?".
On peut par exemple plonger dans en le voyant comme le sous-groupe des permutations de qui laissent invariant.
Pour ce qui est des quotients de , tu peux y réfléchir toi-même. Les chercher revient à chercher les sous-groupes distingués (on dit aussi normaux) de , puisque les quotients de sont les où est un sous-groupe distingué. Comme sous-groupes distingués pas très intéressants, on a tout entier et le sous-groupe réduit à l'élément neutre.  Peux-tu en trouver d'autres(s) ?

Pour l'instant j'ai :
- le groupe alterné A3 des permutation paire qui donne S3/A3 composé de deux classe : les permutations paires : " {1,2,3}{3,1,2}{2,3,1}" et celles impaires : {1,3,2}{3,2,1}{2,1,3}
- les sous groupe engendré : <123>, <12>, <13> et <23>  qui nous donne donc des groupes quotient d'ordre 2, 3, 3 et 3 mais je ne serais dire ce que contient les groupe S3/<123>  , S3/<12> etc... j'ai juste remarqué que il sont distingué car pour dans S3 et p une permutation d'un ssgrp engendré on a o (p) au ssgroup.

oups j'ai rien dis on a que <123> qui est distingué les autres ne le sont pas.

Peux-tu décrire le quotient ? (Donner un groupe bien connu auquel ce quotient est isomorphe ?)
Quel rapport entre et le sous-groupe engendré par le 3-cycle . Peux-tu donner un groupe bien connu auquel ce sous-groupe est isomorphe ?

ok pour en revenir a l'exercice j'ai :
^{-1}(G) qui contient n donc (assez logiquement en fait) il est de la forme d avec d divise n.
On a ainsi G = ( ^{-1}(G)) , cad d/n.
Est ce que le morphisme : x x/d fonctionne pour justifier que c'est isomorphe a /(n/d) ?
Merci d'avance !  

Déja je vient de remarquer que en fait A3 et <123> sont les mêmes oups.
Ensuite pour en écrire le quotient, je sais qu'il a donc deux éléments,
serait il alors isomorphe a /2 ? je ne suis pas sur de ce que j'avance...

Tu as deux classes, les paires et les impaires, et l'opération induite par la composition ..
De toutes faons, des groupes à deux éléments il n'y en a pas bezef (à isomorphisme près) !

Pour ton exo, tu peux partir de l'isomorphisme (de groupes) de multiplication par de sur (dont l'inverse est bien sûr la division par ).