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Sous groupe distingué d'indice 2
Bonjour, besoin d'aide sur un exercice de theorie des groupes :
Soit G un groupe et H un sous groupe de G d'indice 2.
1) Montrer que H est distingué dans G : Fait
2 Montrer que pour tout g dans G, g2 est dans H.
La j'ai considéré G comme la réunion de ses classes à gauche,
G= H union disjointe aH (avec a un représentant). Soit g dans G, g appartient à H ou à aH.
Si g appartient à H, g2 appartient à H.
La je bloque :
Si g appartient à aH, il existe h tel que g=ah, donc g2=ahah
Je pense qu'il faut manipuler l'expression pour utiliser le fait que H distingué dans G, mais je n'y arrive pas. Merci
Dites moi si je me trompe :
ahah = aha-1a2h
Distinction de cas sur a2 :
1) a2 appartient à aH, alors a est dans H (a2=aa=ah0 avec h0 dans H)
Donc aha-1a2h est dans H comme produit d'éléments de H
2) a2 n'est pas dans aH, donc il est dans H car les classes d'équivalences forment une partition de G. D'ou aha-1a2h est dans H par produit d'éléments de H.
Dans les deux cas j'ai utilisé H distingué dans G pour aha[sup]-1 dans H
Tu t'emmêles les pinceaux.
Si , alors il existe
tel que
et donc
(souviens-toi qu'on est dans un groupe, tout élément a un inverse).
C'est faux ce que j'ai écrit avant ?
Si a2 dans aH, il existe h dans H tel que a=h, et donc quoi ? g = ahah = h4 est dans H ?
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