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sous groupe distingué et sous groupe dérivé
Bonsoir,
Il s'agit de prendre un groupe G et de considérer le sous groupe dérivé G'.
Montrons que G' est distingué dans G.
J'avoue ne pas arriver totalement à conclure mais j'écris déjà ce que j'ai fait.
définissons déjà G':
G' est l'intersection de tous les sous groupes de G contenant les xyx^(-1)y^(-1)
Il s'agit de prendre un élément A dans G' et montrons que si l'on prend un 
dans G alors:
A^(-1) dans G'.
cad que cet élément est dans un sous groupe contenant A.
Puisque G' est engendré par les commutateurs xyx^{-1}y^{-1}, il suffit de montrer que le conjugué d'un commutateur est encore dans G'.
exactement, c'est ce que j'ai écrit.
En clair je dois écrire ce que signifie A dans G' puis montrer que A^(-1) dans un sous groupe contenant xyx^(-1)y^(-1)
Non, ce n'était pas ce que tu avais écrit.
Tu avais écrit : il s'agit de montrer que le conjugué d'un élément de G' est un élément de G'
J'ai écrit : il suffit de montrer que le conjugué d'un commutateur est un élément de G'.
Vois-tu la différence ?
hum, en clair quand j'ai pris xyx^(-1)y^(-1) et que je montre que son conjugué par alpha est dans G' cela termine la démonstration ?
Je comprend totalement la différence, tu as raison. Mais peux tu me dire pourquoi il suffit cela?
je vais poser l= alpha, ça sera plus simple.
l x y (x^-1) (y^-1) (l^-1) = l x y (l ^-1) ( y ^-1 )( x^ -1 )
donc cet élément est dans G'
mais certains de ses éléments ne sont pas des commutateurs, n'est ce pas? ( on définit pour la première fois les commutateurs dans cet exo )
1°) Tu écris l x y (x^-1) (y^-1) (l^-1) = l x y (l ^-1) ( y ^-1 )( x^ -1 ) . Peux-tu me dire pourquoi c'est vrai ? (J'en doute.)
2°) est le plus petit sous-groupe de
contenant les commutateurs.
Soit un élément de
.
Montrer que si pour tout commutateur on a
, alors
.
excuse moi:
l x y (x^-1) ( y^-1) (l^-1)= l x y ( l y x )^-1
Bref, j'essaie d'arriver à une forme convenable mais je tatonne un peu
Voyons, un commutateur, ça sert à faire commuter comme son nom l'indique. Le commutateur fait passer de
à
en multipliant à gauche : que vaut
?)
Comme le suggère ta formule, on veut passer de à
. Bon on peut passer de
à
avec le commutateur de
et
, puis de
à
avec un autre commutateur, celui de
et
. (Ne pas oublier qu'on va de la droite vers la gauche).
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