Bonsoir,

Soit G un groupe abélien d'ordre pq avec p et q deux nombres premiers distincts.

Considérons le sous-groupe 〈a,b〉 engendré par les deux éléments distincts a et b avec b 〈a〉.

Démontrer que:

〈a,b〉 = {aⁱ b^j /  0 i p-1  et  0 j p-1 }


Bon si je pose H = {aⁱ b^j /  0 i p-1  et  0 j p-1 }
Je dois démontrer que H est un sous-groupe et que c'est le plus petit sous-groupe contenant a et b.
J'ai que 1 H
Et si je prends x et y dans H, j'ai aussi que x.y H
Mais pour un x dans H, je n'ai pas que x^-1 H puisque si x = aⁱ b^j, alors x^-1 = b^-j a^-i = a^-i b^-j avec les exposants qui sont négatifs et non pas entre 0 et p-1 !!


Merci pour toute aide!