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Niveau Maths sup
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Sous groupe fini de GLn(C)

Posté par
alb1du29
15-09-18 à 16:24

Bonjour,
j'ai fait l'exercice suivant mais je ne suis pas sûr de ma réponse pour la dernière question :
Soit A un sous groupe fini de cardinal m de GL_n(\mathbb{C}), stable par produit.
Montrer que \sum_{M \in A}tr(M) \in m\mathbb{Z}.
Qu'advient-il si  GL_n(\mathbb{C}) est remplacé par  M_n(\mathbb{C})?

Pour la première, j'ai posé B=\dfrac{1}{m}\sum_{M \in A}M puis j'ai montré que B était la matrice d'un projecteur donc tr(B)=dim(Im(B)) \in \mathbb{N}. D'où,  \sum_{M \in A}tr(M) \in m\mathbb{N} \subset m\mathbb{Z}

Pour la seconde, j'ai pris le groupe G=\{J_1,J_2,\dots,J_n\} (où J_i désigne la matrice ayant ses i premiers termes diagonaux égaux à un 1 et les autres tous nuls) qui est un sous groupe de M_n(\mathbb{C}) stable par produit et pas de  GL_n(\mathbb{C}).
Dans ce cas   \sum_{M \in G}tr(M) =\dfrac{n(n+1)}{2} donc si n est pair le résultat est faux.
MAIS si n est impair, le résultat reste vrai, donc ce groupe G me semble un peu tiré par les cheveux. Je recherche donc un autre groupe, un peu plus "élégant" qui permet de conclure que c'est faux avec   M_n(\mathbb{C}). Si quelqu'un a deux minutes pour jeter un coup d'oeil, c'est cool!
merci à vous et bonne journée!

Posté par
carpediem
re : Sous groupe fini de GLn(C) 15-09-18 à 17:07

salut

il me semble qu'un sous-groupe est stable par produit ... par définition ... ou alors préciser que tu considères GL_n(C) comme groupe additif ... mais je ne crois pas que ça en soit un ...

donc il serait bien de préciser l'énoncé ...


pour la deuxième partie ben si tu as trouvé que c'est vrai pour n impair je ne vois pas comment tu peux prouver que c'est faux !!!




rien compris à  la première partie ... mais peut-être as-tu raison ...

en particulier dans la définition de B je ne vois pas pourquoi diviser par m ...

Posté par
luzak
re : Sous groupe fini de GLn(C) 15-09-18 à 23:19

Bonsoir !
Curieux énoncé !
M_n(\mathbb{C}) n'étant pas un groupe pour la multiplication des matrices, comment peux-tu trouver un sous-groupe ?

Maintenant il est vrai qu'il existe des parties stables de  M_n(\mathbb{C}) qui ont une structure de groupe, mais ce ne sont pas des sous-groupes.

du coup je me pose la question de savoir qui est exactement A ?
Une partie de GL(n,\C) qui seriat stable et aurait une sstructure de groupe OU un sous groupe du groupe linéaire ?
Ce n'est pas du tout la même chose.

.....................................
Comment as-tu montré que B est un projecteur ?
Parce que le calcul du carré d'une somme de matrices, je ne vois pas comment tu fais !
.......................................
L'exemple G que tu proposes ne me semble pas être un groupe de cardinal m>1 : relis ce que tu as écrit, il n'y a qu'un seul élément!
Et la trace de la somme est bien un entier, multiple de m=1.

..........................
Bref tu devrais nous donner un énoncé un peu plus sérieux...

Posté par
luzak
re : Sous groupe fini de GLn(C) 16-09-18 à 05:08

Désolé, j'ai fini par comprendre ce que tu proposes pour G.
Il faudrait remplacer n par m mais le plus grave c'est que tu n'as pas un groupe.
En effet, J_1=J_1^2=J_1J_2 donc, par loi de groupe, on aurait J_1=J_2.

Mais, réflexion faite, je me demande pourquoi tu cherches un contre exemple. Ta démonstration de B projecteur peut se faire sans utiliser que les éléments du groupe sont des matrices inversibles.
Il me semble donc que la relation demandée reste vraie pour un groupe formé de matrices non inversibles.

Posté par
alb1du29
re : Sous groupe fini de GLn(C) 16-09-18 à 19:31

Bonjour,
oui vous avez tous les deux raisons, il faut remplacer le terme sous groupe par "partie, stable par produit", ainsi A est une partie stable de M_n(C)
Ensuite j'ai montré que B était un projecteur en montrant que c'était la matrice d'un projecteur  u \mapsto \dfrac{1}{card(A)}\sum_{g \in A}g.

Posté par
luzak
re : Sous groupe fini de GLn(C) 16-09-18 à 23:33

C'est quoi ce bestiau

Citation :
u \mapsto \dfrac{1}{card(A)}\sum_{g \in A}g.
.
Tu envoies u sur une matrice constante et tu nommes ça un "projecteur" ?



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