sans garantie : soit  G le groupe engendré par les nombres de Liouville, il n'est pas dénombrable et ça m'étonnerait beaucoup que  e = 2,718...soit somme finie de nombres de Liouville ou d'opposé sinon il serait trop bien approchable par des rationnels.

Salut !


es tu sur que l'ensemble des nombre de Liouville est non dénombrable ?

oui c'est assez clair  : il comprend les réels dont la  n!  décimale est un entier entre 1 et 9 (et 0 pour les autres).

hum oui tu as raison.
plus qu'a prouver que certains nombres ne peuvent pas etre des sommes finit de nombres de liouville.

On peut prouver (si on connait les fractions continues) que  pour tout a >0

il existe une constante c>0   telle que pour tout rationnel  l e- p/q l > c/ q^(2+a)  . En fait avec  racine(2) à la place de e c'est même plus simple.

Reste à vérifier qu'une somme finie de nombres de Liouville reste très bien approchable...

pour e j'en sais rien, mais en effet on peut aussi vérifier que cette propriété est vérifier pour presque tous x (au sens de lebesgue) - donc tu dois avoir raison ^^


mais justement, meme une somme de deux liouville est pas forcement simple à approcher j'ai l'impression ...

oui finalement :

Théorème (Erdös) Tout réel est somme de deux nombres de Liouville (avec un définition générale d'approximation)

Bref, c'est pas simple.

une idée :

on pourait s'interoger sur l'existence d'un sous groupe de R, non dénomùbrable, et mesurable.

en effet, si on peut prouver que tous les sous groupe en question sont non mesurable, ca prouvera qu'il est pas possible de les construire sans l'axiome du choix. et donc qu'il n'est pas possible de les expliciter.

et d'un autre coté, la recherche de groupe est peut-etre plus simple si on les suppose mesurable ?

j'essairai d'y réfléchir un peu...

Bon après en avoir discuté avec un ami, il semble que mon premier exemple marche à condition de se limiter aux Liouville de la forme :

toutes les décimales nulles sauf les n! ième qui valent 1 ou 2 (pour simplifier).

Ces nombres ont des plages de 0 arbitrairement grande dans leur expression décimale. Quand on ajoute 2 nombres de ce type..il y a toujours des plages de 0 arbitrairement grande (la retenue ne se propage qu'à 1 décimale) donc toute somme finie (avec éventuellement un nombre fini de retenue propagée) auront des plages de 0 arbitrairement grande.
Maintenant l'opposé d'un tel nombre a des plages de 9 arbitrairement grande . Finalement tout éléement de ce sous-groyupe a des plages arbitrairement longues de chiffres identiques. Donc il est différent de R .

Convaincu ?

Bonjour ;

Juste une idée ,

Que dire du quotient de par l'un de ses sous-groupes additifs discrets ? _{(sauf erreur bien entendu)}

?? J'ai un souvenir qui dit que les sous groupes stricts de R sont de la forme . Avec quoi je confonds ?

Ah non désolé maintenant mon souvenir dit que les sous-groupes de R sont les xZ ou alors sont denses dans R.

Bonjour Elhor,

ton groupe est un quotient mais pas un sous-groupe ?

Bonjour,

peut être ehlor voulait dire que si on trouve un endomorphisme de groupe de R qui a un noyau discret, alors on pourrait trouver un sous-groupe de R, isomorphe à ce groupe de quotient et voir ce que ça donne.

non?

Bonjour

Ce quotient est en bijection avec [0;1[, non? ca n'a pas trop une tête de groupe...

jeanseb pourquoi on ne pourrait pas munir [0,1[ d'une structure de groupe ?

Sinon, pour moi qui ai tout oublié, on ne peut pas identifier un groupe quotient à un sous-groupe du groupe quotienté ?

Salut Stok!

Ca va?

En fait, je n'ai pas trop réfléchi. Ceci dit il me semble que si le groupe est abélien (le minimum est : distingué), le quotient est un groupe. Ce qui me contredit, mais c'est pas grave!...

Ouaip moi on fait aller

Bonjour à tous.

>stokastik Non, on ne peut pas toujours trouver un sous-groupe isomorphe à un quotient. C'est une histoire de morphisme scindé.

Je ne connais pas la réponse. mais si on prend un morphisme de groupe continu et de noyau discret, le quotient est isomorphe à S¹ (le groupe multiplicatif des complexes de module 1). Donc, pour exploiter l'idée d'elhor il faudrait un morphisme non continu, et là bonjour l'axiome du choix!

Ici on parlait d'une fonction additive non mesurable : fonctions vérifiants f(x+y)=f(x)+f(y)

y vous plait pas mon exemple avec les Liouville ?

Rebonjour

>lolo217 Mais si!

En voici un autre!

est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel. Il a donc un supplémentaire G qui est bien un sous-groupe additif strict, certainement non dénombrable, puisque est isomorphe à G. Mais ne me demandez pas à quoi il ressemble (l'axiome du choix nous guette!)

Merci ça me rassure.
Cela dit ton exemple est le même que celui de Fractal.

Je n'avais pas tout lu...

Bonjour !
Excusez-moi de cette absence, mais le réseau internet est pas ce qui marche le mieux dans cet internat...

Déjà effectivement, les nombres de Liouville ne marchent pas à cause du théorème cité plus haut.

Sinon, quelques recherches supplémentaires m'ont emmené sur la page suivante : où il donne l'exemple suivant :
Soit .
S contient 0, mais pas 1/3, est stable par opposé car cos est paire et est stable par addition grâce à .
De plus, si a_n est une suite infinie de 0 et de 1, alors , donc S vérifie toutes les conditions voulues.

Fractal

note que l'idée est tres similaire a celle donné par lolo en fait :dans les deux ca, on prend (enfin pas exactement dans ton cas, mais ca serait pareil...) le sous groupe engendré par des elements de la forme an/vn, avec an une suite dans un ensemble finit (a au moins deux elements) et vn une suite croissant tres rapidement, on obtiens un groupe satisfaisant les hypotheses

Plus dur (à priori) sans axiome du choix : construire explicitement un sous-corps strict de R non dénombrable.

Je n'ai pas réfléchi ...peut -être est-ce impossible sous ces conditions ?

J'ai un début d'idée...

on peut essayer de reprendre des construction dans le meme esprit, avec des nombres "lacunaire" ie qui contienne des série de 0 aussi grande que l'on veut. (par exemple, on regarde le corps engendré par les somme des an*10^(-n!)).

mais ca va etre plus compliqué : effet si on a une grande série de 0, quand on passe à l'ooposé on a une grande série de 9. qui si on la multiplie par un entier devient une grande série de i, i entre 0 et 9, (jusque la c'est comme précedement...) mais si on passe à l"inverse on peut obteniens juste des série "périodique" de longeur quelconque... ceci dit il existe des nombres qui ne contienne aucune telle série donc à priori le corps engendré ne pourra pas etre R tous entier. donc ca devrait donné un exemple de telle sous corps.

plus qu'a choisir une bonne notion de 'lacunaire' et à formaliser tous ca.

(si on passe à l'inverse ou qu'on multiplie deux telle nombres entre eux...)

Oui en fait on peut éviter le produit si on montre la stabilité par carré qui est un peu plus claire . ca a l'air de marcher pareil....