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Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite

Posté par
quidam 31-12-14 à 10:26

Bonjour,

J'aimerais comprendre ce que montre J. Calais dans son livre Éléments de théorie des groupes (puf 2014), pp 73,74, dans le contexte du théorème de Lagrange.

Elle donne l'exemple suivant (je cite) :

Considérons le groupe symétrique S_3 qui est engendré par :
\sigm_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} et \tau_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Soit H=<\tau_3>=\{e,\tau_3\}. Les classes à droite et à gauche de \s_3 modula H sont respectivement :

H=\{e,\tau_3\}
H\sigma_1=\{\sigma_1,\tau_3\sigma_1\}
H\sigma_1^2=\{\sigma_1^2,\tau_3\sigma_1^2=\sigma_1\tau_3\}

et

H=\{e,\tau_3\}
\sigma_1H=\{\sigma_1,\sigma_1\tau_3\}
\sigma_1^2H=\{\sigma_1^2,\sigma_1^2\tau_3=\tau_3\sigma_1\}

Voilà, je me pose la question de savoir comment on obtient ces exemples de classes à droite et à gauche ; je comprends très bien que H=<\tau_3>=\{e,\tau_3\}, mais ma question est : pourquoi prendre H\sigma_1 par exemple, pour avoir une classe à droite, je veux dire comment on calcule les classes ( à droite, à gauche) ici ?

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
Robotre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 31-12-14 à 14:22

Quelle est la définition d'une classe à doite ?

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 31-12-14 à 15:15

Merci de me répondre Robot.

La définition d'une classe à droite c'est l'ensemble des éléments qu'on obtient par l'opération d'un élément dans G (le groupe) à droite et d'une élément de H (le sous-groupe de G), à gauche, soit : \{hx, h\in H, x\in G.

Ce que je voudrais savoir c'est techniquement, comment on fait, puisqu'on a un ensemble H et un ensemble G. L'exemple que je donne n'est pas explicite pour moi car je ne vois pas pourquoi on prend \sigma_1 ou \sigma_1^2 par exemple dans H\sigma_1=\{\sigma_1,\tau_3\sigma_1\} et dans H\sigma_1^2=\{\sigma_1^2,\tau_3\sigma_1^2=\sigma_1\tau_3\} ... Pourquoi ces éléments-là et pas les éléments de H opérés sur G ?

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 31-12-14 à 15:18

Citation :
... Pourquoi ces éléments-là et pas les éléments de H opérés sur G ?


Je veux dire qu'on n'a pas tout opéré, entre H=\{e,\tau_3\} et G=S_3 !?

Posté par
Robotre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 31-12-14 à 17:02

Ta définition de classe à droite n'est pas correcte.
La classe à droite de g\in G suivant le sous-groupe H de G, c'est Hg=\{hg\mid h\in H\}. Ce qui cloche dans ce que tu écris, c'est que tu fais aussi varier g.
Dans ton exemple, la classe à droite de \sigma_1 suivant H est H\sigma_1=\{\sigma_1, \tau_3\sigma_1\}. La classe à droite de \tau_3\sigma_1 est égale à celle de \sigma_1.

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 19:25

Je pense comprendre.

Par contre, es-tu sûr que

Citation :
La classe à droite de \tau_3\sigma_1 est égale à celle de \sigma_1
?

Si on applique d'abord \sigma_1, on a (231), ensuite sur cette permutation, si on applique \tau_3, on a (132), qui n'est pas égale à \sigma_1 ! Non ?

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 19:27

Non, pardon, j'avais mal compris ce que tu avais dit, il s'agit de la classe, pas de la permutation, c'est entendu maintenant !

Merci.

Posté par
Robotre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 20:48

Avec plaisir.

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 21:28

Je suis désolé, je ne comprends que ... presque.

Citation :
Dans ton exemple, la classe à droite de \sigma_1 suivant H est H\sigma_1=\{\sigma_1, \tau_3\sigma_1\}.


Pour Hg, je ne fais pas varier g, c'est ça ? Mais qu'est-ce que je fais varier ? J'opère chacun des éléments de H (je fais donc varier ceux-ci), sur quels éléments de G ? Pas tous car je les fixe, mais lesquels ? Pourquoi \sigma_1 ou \sigma_1^2 plutôt que \tau_3 par exemple ? Excuse la confusion, je bloque vraiment !

Posté par
Robotre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 21:33

N'es-tu pas capable de comprendre Hg=\{hg\mid h\in H\} ?
Exemple : g=\sigma_1, H=\{ e,\tau_3\}.

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 21:51

Oui, si g=\sigma_1, alors Hg=\{e\sigma_1, \tau_3\sigma_1\}. Mais ce que je voudrais savoir, c'est pourquoi on ne prend pas les autres g de S_3 :

Pour les classes à droite par exemple, on aurait :

\{ee, e\sigma_1, e\sigma_2, e\tau_1, e\tau_2, e\tau_3, \taue, \tau\sigma_1, \tau\sigma_2, \tau\tau_1, \tau\tau_2, \tau\tau_3 \}, puisqu'on veut que g \in G !

Posté par
Robotre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 22:02

Tu n'as toujours pas compris la définition de classe à droite. Relis ton cours et écris ici la définition de ton cours.

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 22:14

Voici ce que je lis :

(Proposition-définition)

Soit H un sous-groupe de G alors la relation définie par

\all a,b \in G, (a\equiv b (mod H) \Longleftrightarrow a^{-1}b \in H)

est une relation d'équivalence sur G, appelée la congruence modulo H (à gauche). La classe de a modulo H est aH=\{ah|h\in H\}. On note l'ensemble quotient G/H=\{ah|a \in G\} (ensemble de toutes les classes de G pour la congruence (à gauche) modulo H.

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 22:16

Bien sûr, pour la classe à droite il faut inverser les positions des lettres.

Posté par
Robotre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 22:22

Tu as mal recopié : ça doit être G/H=\{aH\mid a \in G\}.

Et tu vois bien que l'on définit la classe aH de a, pour un a dans G qui ne bouge pas dans la définition de aH.
Chaque élément de G a une classe, et deux éléments ont la même classe si et seulement s'ils sont équivalents modulo H.

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 22:43

Si j'adapte la définition à S_3 et H=\{ e,\tau_3\}, j'aurais :

H=\{ e,\tau_3\} un sous-groupe de S_3, donc la relation définie par

\all a,b \in S_3, (a\equiv b (mod H) \Longleftrightarrow a^{-1}b \in H)

est une relation d'équivalence sur S_3, appelée la congruence modulo H (à gauche). La classe de a modulo H est aH=\{ah|h\in H\}. H=.

On aurait par exemple, en guise de a^{-1}b l'écriture \sigma_1^{-1}\sigma_2...

Posté par
ThierryPomare : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 01-01-15 à 23:16

Bonsoir,

Le livre de Josette Calais est clair bien que truffé de coquilles... Quoiqu'il en soit, l'on a

\mathfrak{S}_3=\{e,\,\tau,\,\sigma,\,\sigma^2,\,\tau\circ\sigma,\,\sigma\circ\tau\}

de sorte que

H=\{e,\,\tau\}

H\sigma=\{\sigma,\,\tau\circ\sigma\}

et

H\sigma^2=\{\sigma^2,\,\sigma\circ\tau\}

Question : Que donne H\tau\circ\sigma=\cdots et H\sigma\circ\tau=\cdots et pourquoi ? Alors, \left(\dfrac{\mathfrak{S}_3}{H}\right)_d=\{Hg\mid g\in\mathfrak{S}_3\}=\cdots

Bonne nuit !!

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 02-01-15 à 12:15

Oui, tous les livres édités sur les groupes que je lis sont truffés de coquilles (Anne Cortella, par exemple, ne sait pas accorder le présent avec la troisième personne du pluriel manifestement !), ce qui n'arrange pas mes affaires cognitives !

Alors, en posant \e=(123), \sigma_1=(231), \sigma_2=(312), \Tau_1=(132), \tau_2=(321), \tau_3=(213), et en considérant que \tau_3=\tau et \sigma_1=\sigma, on a :

Comme \tau\circ\sigma=(132) = \tau_1, on a :

H\tau\circ\sigma= \{e\circ(132)=132=\tau_1, \tau\circ\tau\circ\sigma=\tau\circ\(132)=(231)=\tau\}=\{\tau_1, \tau\} ; mais je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire, ni pourquoi...

Posté par
quidamre : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 03-01-15 à 08:28

Je réactive car je veux comprendre.

H\tau\circ\sigma= \{e\circ(132)=132=\tau_1, \tau\circ\tau\circ\sigma=\tau\circ\(132)=(231)=\tau\}=\{\tau_1, \tau\} ; mais je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire, ni pourquoi...

Est-ce que je dois faire (techniquement comme ça : je prends chaque élément de H, le sous-groupe et j'applique l'opération (à droite par exemple) sur chaque élément de G, le groupe ?

Posté par
ThierryPomare : Sous-groupes de S3 et classes à gauche, à droite 03-01-15 à 10:19

Bonjour,

L'on a, notamment par associativité de la loi interne \circ sur \mathfrak{S}_3

H\tau\circ\sigma=\{e\circ\tau\circ\sigma,\,\tau\circ\tau\circ\sigma\}=\{\tau\circ\sigma,\,(\tau\circ\tau)\circ\sigma\}=\{\tau\circ\sigma,\,\sigma\}=H\sigma

Ce résultat était prévisible en vertu du fait que \tau\in H, de sorte que H\tau=H.

De même a-t-on

H\sigma\circ\tau=\{e\circ\sigma\circ\tau,\,\tau\circ\sigma\circ\tau\}=\{\sigma\circ\tau,\,\sigma^2\}=H\sigma^2

car \tau\circ\sigma\circ\tau=\sigma^2 (à vérifier !). Finalement, il s'ensuit que

\left(\dfrac{\mathfrak{S}_3}{H}\right)_d=\{Hg\mid g\in\mathfrak{S}_3\}=\{H,\,H\sigma,\,H\sigma^2\}

Vois-tu à présent ? Tu as raison de vouloir comprendre. Il faut être curieux en Mathématique.

Thierry


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