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Sous groupes de Sylow de A3,S3,A4...
Bonjour j'ai un exercice sur Sous groupes de Sylow de A3,S3,A4,.. et je bloque un peu. Voilà l'énoncé :
1)Déterminer les sous-groupes de Sylow de A3 et S3.
2)Déterminer les sous-groupes de Sylow de A4 et S4.
3)Déterminer les sous-groupes de Sylow de A5.
Indication : On pourra étudier le sous-groupe engendré par (a b)(c d) et (a c)(b d),
a, b, c et d éléments distincts de {1, 2, 3, 4, 5}.
4)Déterminer les sous-groupes de Sylow de S5.
Indication : On admettra qu'un groupe engendré par deux éléments x et y véri fiant :
x d'ordre 2, y d'ordre 4 et xyxy=1, est d'ordre 8.
___________________________________________________
1) A3 est d'ordre 3 et ne possède qu'un seul 3-Sylow c'est lui-même ( car A3 est simple )
S3 est d'ordre 6. Soit n2 le nombre de 2-Sylow et n3 le nombre de 3-Sylow.
On a n3|6 et n3=1+3k => n3=1, le 3-Sylow est A3.
Pour n2, n2|6 et n2=1+2l donc n2=1 ou 3. A partir de là je bloque...
Rebonjour Lola
Dans le cas de petits groupes, tu oublies un peu les théorèmes et tu regardes... Tu ne vois pas le(s) sous-groupe(s) d'ordre 2 de ?
Deux choses :
- le théorème de Sylow te dit mieux que et
, il te dit
et
. Mais cela ne nous donne pas plus que
.
- ici c'est très simple, est un groupe assez élémentaire, tu connais directement ses
-Sylow : il s'agit des trois groupes engendrés par une transposition.
Ok merci de l'info.
2)Pour A4 : A4 est d'ordre 1x3x4=12=22x3
D'après les théorèmes de Sylow, n2
{1,3} ; n2{1,4}.
Là encore, n'est pas très compliqué.
- les -Sylow sont les groupes engendrés par des
-cycles, il y en a donc
.
- le seul -Sylow est le groupe contenant les bitranspositions (tu n'as plus le droit de considérer les groupes engendrés par une transposition étant donné que la signature vaut
).
D'après le théorème de Sylow, ce groupe est distingué, ce qui donne au passage que n'est pas simple.
En fait il suffit de les écrire pour trouver leur nombre exact c'est bien ça ?
Pour les 3-Sylow on a les sous groupes engendrés par (123),(124),(134),(234). Pour les 2-Sylow je ne suis pas sure de comprendre. Tu résonnes selon le cardinal de A4 ?
Un 2-Sylow est ici un groupe de cardinal 4. En particulier, tout élément de ce 2-Sylow vérifie .
Si tu écris ta permutation en produit de cycles à supports disjoints, pour avoir , on doit avoir soit l'identité, soit une transposition, soit un 4-cycle, soit une bitransposition.
La transposition et le 4-cycle sont à exclure car leur signature est -1.
Ensuite, des bitranspositions il y en 3. Notre seule chance de constituer un sous-groupe d'ordre 4 est donc de prendre l'identité plus ces trois éléments.
On pourrait montrer qu'il s'agit bien d'un groupe, mais on sait qu'il en existe un par le théorème de Sylow, ça ne peut donc être que lui.
As-tu bien compris ?
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