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Sous-groupes discrets de C*

Posté par
BlackBird
13-04-22 à 06:43

Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice:
Soit G un sous-groupe discret de C*
1) Montrer que si K \subset C* est un compact, K \cap G est fini
2) Montrer que G \cap \mathds{U} (U est le cercle unité) est cyclique
3)On suppose que G n'est pas contenu dans U. Montrer que X=\{|z|, z \in G\} \cap ]1,+\infty[ admet un plus petit élément
4) Décrire G

je ne vois pas comment partir...

Posté par
GBZM
re : Sous-groupes discrets de C* 13-04-22 à 08:15

Bonjour,

Ne peux-tu pas voir ce qu'est un compact discret ?

Posté par
BlackBird
re : Sous-groupes discrets de C* 13-04-22 à 09:30

Non je ne vois pas...
Mais l'hypothèse de sous groupe doit servir, car \{ \frac{1}{n}, n \in N \} est une partie discrète dont l'intersection avec le compact [0,1] est infinie

Posté par
GBZM
re : Sous-groupes discrets de C* 13-04-22 à 11:27

Ton énoncé me surprend un peu. Le sous-groupe  des 2^n pour n\in \Z est discret, mais ne vérifie pas la conclusion du 3.
Je pensais à une hypothèse oubliée. Sans cette hypothèse, il faut effectivement utiliser le fait que c'est un sous-groupe pour la première question. Suppose que K\cap G est infini. Il a donc un point d'accumulation dans K. Maintenant on peut utiliser le fait que G est un sous-groupe multiplicatif ...

Posté par
BlackBird
re : Sous-groupes discrets de C* 13-04-22 à 14:27

Euh, je ne sais pas ce qu'est un point d'accumulation...
Et votre contre-exemple n'est pas un contre-exemple, l'intersection du sous-groupe que vous proposez et de ]1,+inf[ admet 2 comme plus petit élément si je ne m'abuse

Posté par
GBZM
re : Sous-groupes discrets de C* 13-04-22 à 19:26

Exact, j'avais zappé le [1, +\infty[
Bizarre de faire ces exercices de topologie sans savoir ce qu'est un point d'accumulation.

Posté par
BlackBird
re : Sous-groupes discrets de C* 13-04-22 à 22:47

Je ne connaissais pas (il faut dire que la topologie en prépa est abordée de manière assez restreinte)

J'ai trouvé pour la question 1 sans parler de point d'accumulation: dans le cas où K \cap G est infini, je me donne une suite u_{n} de K \cap G dont tous les éléments sont distincts 2 à 2, s'agissant une suite d'éléments d'un compact on peut en extraire une sous-suite u_{\varphi(n)} convergente dans K; j'introduis v_{n}=\frac{u_{\varphi(n)}}{u_{\varphi(n-1)}}. v_{n} est une suite d'éléments de G qui converge vers 1\in G et qui n'est pas stationnaire (Par construction, \forall n \in \N, v_{n} \neq 1). 1 n'est donc pas isolé dans G, ce qui est absurde!

Pour la 2), conséquence assez directe du 1: U est compact donc G\cap U est fini (notons n son cardinal), c'est mếme un sous-groupe fini ce C*. Or, \forall z \in G\cap U, l'ordre de z divise n. Donc G\cap U \subset U_{n}, et par égalité des cardinaux, G\cap U = U_{n}, G\cap U est donc cyclique sans problèmes.

Pour la 3) je ne vois pas...

Posté par
GBZM
re : Sous-groupes discrets de C* 14-04-22 à 09:15

Bien, c'est là où je voulais t'amener, la terminologie de point d'accumulation est utile à connaître mais pas indispensable au raisonnement.
Pour la question 3, une idée pourrait être de considérer le logarithme du module (et bien sûr utiliser la première question).

Posté par
BlackBird
re : Sous-groupes discrets de C* 15-04-22 à 05:03

Salut, j'ai trouvé avec une autre méthode pour la 3:
Comme G \cap U \neq \emptyset, \exists z \in G, |z|>1. On sait d'après 1 que G \cap U est fini et puisque A= \{a \in C^{*}, 1 \leq |a| \leq |z| \} est un compact, A \cap G est fini également. Donc B= \{a \in G, 1 < |a| \leq |z| \} est fini en tant que différence d'ensembles finis et est non vide. B admet donc un élément de module minimal qui est également un élément de module minimal pour X.

Je suis curieux de voir comment vous avez fait avec le log cependant

Pour la 4 voilà où j'en suis: je cherche à montrer que  \usepackage{dsfont} G=U_{n} \times p^{\mathds{Z}} avec p strictement positif.

Si G est contenu dans U, c'est bon, sinon je choisis n=card(G \cap U) et p=min X
Pour l'inclusion dans le sens direct, si je prend z \in G quelconque et que j'écris z = \rho e^{i\theta}, il est facile de voir que \rho est une puissance de p (sinon p ne serait pas le minimum de X, ce qui est absurde), mais je n'arrive pas à montrer que \theta=\frac{2k \pi}{n}.

Pour l'inclusion dans le sens réciproque, il suffit de montrer que p \in G mais je n'y arrive pas...

Qu'en pensez-vous?

Posté par
GBZM
re : Sous-groupes discrets de C* 15-04-22 à 11:51

Ta réponse à la question 3 est bien (une erreur cependant quand tu traduis le fait que "G  n'est pas contenu dans U" par "G est disjoint de U", et je ne vois pas pourquoi tu te sens obligé d'utiliser que G\cap U est fini).
Avec le logarithme du module, on se ramène au cas d'un sous-groupe additif de \R qui est classique (monogène ou dense, ce qui est exclu).
Pour la 4, tu fais un peu fausse route : aucune raison que G contienne un réel >1. Considère plutôt un élément de G de module >1 minimal.

Posté par
BlackBird
re : Sous-groupes discrets de C* 15-04-22 à 12:38

Effectivement il y a une erreur d'inattention au début de mon message, et le "G \cap U est fini" était inutile, merci de le souligner

Bien vu pour l'utilisation du log, c'est ingénieux

Pour le petit 4, le résultat que j'essaye de montrer est-il au moins le bon? Sinon je ne vois pas quoi prouver...

Posté par
GBZM
re : Sous-groupes discrets de C* 15-04-22 à 14:08

Je t'ai donné une indication : au lieu de considérer le minimum \rho des modules des éléments de G de module >1, qui n'a aucune raison d'appartenir à G, considère plutôt un élément de G de module \rho.

Posté par
BlackBird
re : Sous-groupes discrets de C* 15-04-22 à 14:30

Je crois que j'y suis;
je me donne z_{0}= \rho e^{i\theta} élément dans G de module >1 minimal et je vais montrer que  \usepackage{dsfont} G=U_{n} \times z_{0}^{\mathds{Z}}. L'inclusion dans le sens réciproque est évidente. Si z=r e^{i \varphi} \in G, r est une puissance entière de \rho sans quoi on peut exhiber un élément de module >1 et < \rho. Donc z=z_{0}^{k} e^{i(\varphi -k \theta)} avec k un entier, et pour finir \frac{z}{z_{0}^{k}}\in G\cap U, ce qui permet de conclure
merci de l'aide

Posté par
GBZM
re : Sous-groupes discrets de C* 15-04-22 à 14:34

Avec plaisir.



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