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Sous-groupes du cercle unité

Posté par
Touid 21-02-10 à 15:30

Bonjour à tous,

Je suis tombé, dans mes révisions sur un exercice sur les sous-groupes de \mathbb{R} et du cercle unité S^1.

Je vous poste rapidement les questions:

Soit \Gamma un sous groupe de \mathbb{R} non réduit à 0, on pose x_\Gamma := inf ( \Gamma \cap \mathbb{R}^{>0} )

1) Montrer que si x_\Gamma=0, alors \Gamma est dense dans \mathbb{R}
2) Montrer que si x_\Gamma \neq 0, alors \Gamma = x_\Gamma \mathbb{Z}
3) A quelle condition le sous-groupe x \mathbb{Z} + y \mathbb{Z} estèil dense dans \mathbb{R}

Je n'ai eu aucun problème à réaliser ces questions.

4) Soit G un sous-groupe de S^1, de cardinal fini n. Montrer qu'alors G est le groupe des racines n-ièmes de l'unité.
5) Soit G un sous-groupe de S^1, de cardinal infini, montrer qu'il est dense dans \mathbb{R}.

J'ai réussi la 4) sans les questions précédentes, à l'aide d'un argument du type cardinal n implique l'existence d'un élément d'ordre n.

Par contre, je sèche sur la 5), j'ai pensé à par mal de choses:
-> Que la question est pas numérotée 5) pour faire beau et qu'il faudrait que je me serve d'un sous-groupe de \mathbb{R}
-> Soit \Gamma = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid e^{2i \pi x} \in G \rbrace, ceci est un sous-groupe de \mathbb{R}.
-> Qu'on a un isomorphisme de groupes entre \frac{\Gamma}{\mathbb{Z}} et mon groupe G

Je tourne en rond, et je n'arrive pas à exploiter l'information cardinal infini.

Si vous pouviez me fournir quelques pistes, ça me ferait bien plaisir à moi et à mes neurones qui forcent depuis 48h non stop même pendant la nuit pour trouver la solution

Merci

Posté par
mouss33re : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 17:00

Les deux première questions sont assez classiques.
C'est pour montrer que tout sous-groupe de R est soit dense, soit discret.


Tu peux jeter un oeil ici => http://flouretmaths.jimdo.com/capes/ecrit/ (sous-groupe de R)

Posté par
Touidre : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 17:06

Merci pour ta réponse et pour ce site qui propose des PDF sympas que je ne connaissais pas, mais je bloque seulement à la dernière question où je dois prouver quelque chose concernant le cercle unité.

Peut-être faut il se servir des sous-groupes réels, mais je suis en train de chercher, et je ne trouve toujours pas.

Posté par
mouss33re : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 17:35

Mince désolé j'ai lu trop vite!

Pour la 5), tu es sur de ta question? Ca ne serait pas plutot "dense dans S^1 " ?

Posté par
mouss33re : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 17:35

(en feuilletant dans mes cours, c'est ce que j'ai retrouvé d'où ma question !)

Posté par
Touidre : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 17:41

Ah si, évidemment, j'étais tellement absorbé à faire le rapprochement avec \mathbb{R} que j'en ai oublié où je travaillais. Oui, c'est S^1

Posté par
mouss33re : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 17:50

Ok!

Dans mon cours il est marqué qu'il faut considérer {e^{in}, n\in Z} (il est bien de cardinal infini et c'est bien un sous-groupe de S^1.

Posté par
Touidre : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 18:04

C'est donc un exemple de sous-groupe G qui pourrait répondre à la question.

En fait il y a une autre question, après, à laquelle j'ai répondu par contre:

6)A quelle condition \langle e^{ix} \rangle est il dense dans S^1

J'ai répondu:

Par les questions précédentes, \langle e^{ix} \rangle = \lbrace e^{ikx} \rbrace_{k \in \mathbb{Z}}  est dense dans S^1 si et seulement si il est infini.

Ce groupe est infini \Longleftrightarrow \forall k \in \mathbb{Z}, kx \neq 2n \pi, n \in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow \forall n,k \in \mathbb{Z}, x \neq 2 \frac{n}{k} \pi \Longleftrightarrow  \fbox{x \not\in \pi \mathbb{Q}}

En fait des exemples de sous-groupes de G denses dans S^1 j'en ai plein du coup.

Je continue à chercher.

Posté par
dragon341re : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 18:08


Bonjour Touid,

comment as-t-u démontré ta question 4 concernant les racines de l'unité? Tu as raisonné par double inclusion? ou bien as-tu utilisé le morphisme de groupes f:R->S1 qui à associe exp(i)  et raisonné sur les sous-groupes?

Posté par
Touidre : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 18:24

Bonjour,

J'ai raisonné par double-inclusion, j'ai trouvé que forcément le groupe contenait une racine n-ième primitive de l'unité et que finalement elle contenait n racine-nièmes de l'unité, donc il n'y a plus le choix.

Je me suis dit que ça pouvait se faire aussi par cette exponentielle, mais je n'arrive pas à raisonner comme ça.

Soit G un sous-groupe infini de S^1, ses éléments s'écrivent exp(2i \pi x), avec x dans \mathbb{R} ou dans [0;1[, et alors on a un morphisme de G vers \mathbb{R} ou [0;1[ qui a exp(2i \pi x) associe x.

Ou dans l'autre sens, le morphisme qui à x \in \mathbb{R} associe exp(2i \pi x), qui va de \mathbb{R} dans S^1.

C'est ici que je ne sais pas quoi faire.

Je peux dire que ce morphisme est surjectif et que du coup on a un isomorphisme entre [0;1[ et S^1, et ...

En posant \Gamma = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid e^{ix} \in G \rbrace, je peux obtenir un morphisme de \Gamma dans G et ...

Posté par
dragon341re : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 18:28

Pour ta question 5, on a un résultat qui dit que l'image par une application continue et surjective d'une partie dense est dense. Donc avec l'application f:S1 telle que exp(i) qui est un morphisme surjectif, il faudrait peut être écrire G comme l'image d'une partie dense de par cette application ? c'est juste une proposition, je ne sais pas si ça t'aide

Posté par
Touidre : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 18:35

Oui, je suis d'accord avec ça.

Pour montrer que G est dense dans S^1, je n'avais pas trop de pistes, alors sans penser à des morphismes ou quoi que ce soit de mathématiques, j'ai essayé de me représenter ce que serait la densité.
De Q dans R, c'est tout simplement dire qu'entre deux réels je peux caler un rationnel.
Ainsi, soient e^{ix} et e^{iy} deux éléments de S^1, avec x,y \in \mathbb{R}. Si je montre que il existe g \in \mathbb{R} tel que x<g<y, j'ai terminé, par ce que tu viens de proposer.

Effectivement, cela revient effectivement à écrire G comme l'image d'une partie dense dans R par l'application exponentielle.
Mais la seule donnée que j'ai et que je n'arrive pas à exploiter depuis le début, c'est que le cardinal de mon groupe est infini. Je n'ai pas de densité où que ce soit.
Le seul endroit où je lis densité, c'est dans ma question 1), portant sur les sous-groupes de R.

J'ai l'impression que j'y suis presque et que j'ai quasiment tout en main pour finir, mais vraiment ça vient pas ..

Posté par
dragon341re : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 18:39

effectivement, je pense qu'il ne manque pas grand chose pour finir , courage!

Posté par
borisre : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 18:51

bonjour.
personnelement, je reste un peu perplexe sur la résolution de ta question 4  ...
pour la 5, je pense que j'appliquerais egalement juste la definition de la densité. apres,pour le probleme de cardinalité, je vais chercher un peu ...

Posté par
Touidre : Sous-groupes du cercle unité 21-02-10 à 19:00

Peut-être est-elle fausse ... j'ai marqué:

Supposons G fini, de cardinal n. Il existe alors x \in G d'ordre n:
x^n=1 et  \forall k \in [1; n-1], x^k \neq 1
Ainsi, G contient une racine n-ième primitive de l'unité.

De plus, on vérifie aisément que \forall k \in  [0; n-1], les x^k sont des racines n-ièmes de l'unité tous distinctes, sinon cela contredit le fait que x soit d'ordre n.
De plus, par stabilité de G par multiplication, \forall k \in [0; n-1], x^k \in G.

Ainsi, puisque G compte n éléments et contient n racines n-ièmes de l'unité \fbox{G= \lbrace exp(\frac {2ik\pi}{n}) \rbrace_{k \in [0; n-1]}}


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