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Sous-suite et valeur d'adhérence
Bonsoir !
J'essaye de comprendre la démonstration du théorème suivant :
"(
,| |) est complet.
Soit (an)
de Cauchy.
Alors (an) est bornée.
Pour tout n, {ak, k
n} est non vide, majoré. Donc il admet une borne inférieure.
On pose xn=inf {ak, kn}.
Comme (an) est majorée, (xn) aussi.
{ak, kn+1}
{ak, kn}.
Donc xn+1 xn.
Donc (xn) est croissante, majorée donc elle converge vers un 
.
On veut montrer que (an) admet comme valeur d'adhérence.
On sait que
Soit 
>0.
Il existe N1/ 
nN1, -<xx
. #J'imagine que la deuxième inégalité provient du fait que (xn) est croissante, et convergente vers .
Donc n N1, - <an.
D'autre part, il existe kN1, ak<+ #Oui car :
Supposons que pour tout k N1, ak+ alors xN[sub]1[/sub] + ce qui est contradictoire.
Donc il existe kN1 / |ak-|<
Donc est bien une valeur d'adhérence de (an).
Mais pourquoi ?
est une valeur d'adhérence de (an) 
>0, N, 
nN, |an-|<.
Mais dans cette définition N ne dépend pas de alors que le N1 oui.
On aurait pas plutôt montré qu'il existe une suite 
: 
strictement croissante tel que =
?
A ce propos, pouvez vous m'envoyer la démonstration de la propriété suivante :
"Soit (X,d) un espace métrique. Soit (xn)X et xX.
x est une valeur d'adhérence de (xn) 
Il existe : strictement croissante telle que =x
Bonjour !
Mais dans cette définition N ne dépend pas de
Ce n'est pas grave : s'il existe
il suffit de prendre
En fait toute cette partie
D'autre part, il existe k
N1, ak<+ #Oui car :
Supposons que pour tout k
N1, ak+ alors xN[sub]1[/sub] + ce qui est contradictoire.est inutile : quand un réel est inférieur à
Ta suite
.............................................
Tu procèdes de même pour ta question sur les espaces métriques :
Il existe
En supposant définis
La suite
Bonjour 
Pour mémoire :
Soit un espace topologique,
et
.
On dit que est valeur d'adhérence de la suite
si
est adhérent à tous les
.
Autrement dit, tout voisinage de dans
contient une infinité de termes de
.
Donc une condition suffisante pour que soit valeur d'adhérence de la suite
est qu'il existe une sous-suite de
qui converge vers
.
Dans les espaces métrisables (ou plus généralement, à base dénombrable de voisinages), cette condition devient nécessaire.
Un très beau contre-exemple est donné par l'espace d'Arens-Fort qui est muni de la topologie dont les ouverts sont :
- les parties qui ne contiennent pas le point .
- les parties dont « presque toute » colonne contient « presque tous » les entiers, où « presque tous » signifie ici : tous sauf un nombre fini.
Le point est valeur d'adhérence de toute suite exhaustive de point de
mais n'est limite d'aucune sous-suite.
Le problème qui consiste à trouver des contre-exemples aux fin d'illustrer des notions pas forcément simples à l'instar de tout ce qu'on peut trouver dans ceci : 
Alors si j'ai bien compris.
Soient (X,d) un espace métrique, (xn) X et x X.
On suppose que x est une valeur d'adhérence de (xn).
Donc on a :
>0, N, n> N,
d(x,xn)<.
* Il existe n0=(0)>0 tel que d(x,x(0))<1.
*Il existe n1=(1)>(0) tel que d(x,x(1))<
....... (on continue le processus)
*Il existe np=(p)>(p-1) tel que d(x,x(p))<1/(2^p)
Ainsi on a :
Ta dernière ligne est curieuse !
La limite d'une distance (un réel) serait un élément de l'espace métrique ?
En fait la limite de la suite est le réel 0.
Pour avoir (le tout) en indice il faut utiliser les accolades comme dans le "corrigé" ci-dessous.
Ainsi on a :
J'ai utilisé "x_{\varphi (p)}".
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