Bonsoir !
J'essaye de comprendre la démonstration du théorème suivant :
"(,| |) est complet.
Soit (an) de Cauchy.
Alors (an) est bornée.
Pour tout n, {ak, kn} est non vide, majoré. Donc il admet une borne inférieure.
On pose xn=inf {ak, kn}.
Comme (an) est majorée, (xn) aussi.
{ak, kn+1} {ak, kn}.
Donc xn+1 xn.
Donc (xn) est croissante, majorée donc elle converge vers un .
On veut montrer que (an) admet comme valeur d'adhérence.
On sait que
Soit >0.
Il existe N1/ nN1, -<xx. #J'imagine que la deuxième inégalité provient du fait que (xn) est croissante, et convergente vers .
Donc n N1, - <an.
D'autre part, il existe kN1, ak<+ #Oui car :
Supposons que pour tout k N1, ak+ alors xN[sub]1[/sub] + ce qui est contradictoire.
Donc il existe kN1 / |ak-|<
Donc est bien une valeur d'adhérence de (an).
Mais pourquoi ?
est une valeur d'adhérence de (an)
>0, N, nN, |an-|<.
Mais dans cette définition N ne dépend pas de alors que le N1 oui.
On aurait pas plutôt montré qu'il existe une suite : strictement croissante tel que = ?
A ce propos, pouvez vous m'envoyer la démonstration de la propriété suivante :
"Soit (X,d) un espace métrique. Soit (xn)X et xX.
x est une valeur d'adhérence de (xn) Il existe : strictement croissante telle que =x
Bonjour !
Bonjour
Pour mémoire :
Soit un espace topologique, et .
On dit que est valeur d'adhérence de la suite si est adhérent à tous les .
Autrement dit, tout voisinage de dans contient une infinité de termes de .
Donc une condition suffisante pour que soit valeur d'adhérence de la suite est qu'il existe une sous-suite de qui converge vers .
Dans les espaces métrisables (ou plus généralement, à base dénombrable de voisinages), cette condition devient nécessaire.
Un très beau contre-exemple est donné par l'espace d'Arens-Fort qui est muni de la topologie dont les ouverts sont :
- les parties qui ne contiennent pas le point .
- les parties dont « presque toute » colonne contient « presque tous » les entiers, où « presque tous » signifie ici : tous sauf un nombre fini.
Le point est valeur d'adhérence de toute suite exhaustive de point de mais n'est limite d'aucune sous-suite.
Alors si j'ai bien compris.
Soient (X,d) un espace métrique, (xn) X et x X.
On suppose que x est une valeur d'adhérence de (xn).
Donc on a :
>0, N, n> N,
d(x,xn)<.
* Il existe n0=(0)>0 tel que d(x,x(0))<1.
*Il existe n1=(1)>(0) tel que d(x,x(1))<
....... (on continue le processus)
*Il existe np=(p)>(p-1) tel que d(x,x(p))<1/(2^p)
Ainsi on a :
Ta dernière ligne est curieuse !
La limite d'une distance (un réel) serait un élément de l'espace métrique ?
En fait la limite de la suite est le réel 0.
Pour avoir (le tout) en indice il faut utiliser les accolades comme dans le "corrigé" ci-dessous.
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