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Spé maths - nombres premiers
Posté par chloe144
Bonjour, j'ai un exercice de spé a faire, mais je bloque...
Enoncé:
"Soient a et n deux entiers naturels, supérieurs ou égaux à 2.
On pose N = a^n − 1
On demande tout d'abord de vérifier que a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1)
(1)En déduire qu'une condition nécessaire pour que N soit premier est "a=2"
(2)On considère maintenant les entiers de la forme 2^n − 1
(a) p et q étant 2 entiers naturels strictement supérieurs à 1, démontrer que 2^(pq) − 1 est divisible par 2^q − 1.
(b) En déduire que si n n'est pas premier, alors 2^n -1 n'est pas premier.
(c) Donner alors une condition nécessaire pour que 2n − 1 soit premier.
Pour la question 1, je sais qu'il s'agit des nombres de Mersenne, mais je n'arrive pas à l'expliquer ni a utiliser de propriété...
Idem pour le reste, je connais les réponses "en gros" mais je n'arrive pas a les expliquer.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
Salut,
As-tu répondu à la question préliminaire ?
Et pour la question 1, sachant que a et n sont supérieurs ou égaux à 2, alors si a est différent de 2, que penser de N ?
Bonjour
(1) Tu viens de voir que N est un produit. Comment pourrait-il être premier?
(2) a) Remarque que
Le reste devrait venir tout seul.
Merci pour vos réponses déjà.
Yzz, non je nai pas repondu a la question préliminaire parce que je sais que a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1 mais je ne sais pas comment le démontrer, je dois développer a^n -1 ?
Pour la question 1, je sais qu'il faut utiliser la contraposée justement, en expliquant que si a est différent de 2, N n'est pas premier, mais je n'arrive pas à le justifier. Un exemple ne suffit pas j'immagine?
Camélia, excuse-moi mais je n'ai pas compris ton aide à la Q1 
Pour la Q2, donc si je dis que 2^(pq) = (2^p)q alors 2^(pq) est divisible par 2^pq ?
Utilise la définition d'un nombre non premier. A quoi on le reconnait? Comment justifies-tu que 6 n'est pas premier?
Pour la 2) tu écris la première égalité que tu as démontrée avec
Un nombre non premier est divisible par un autre nombre plus petit que lui. Donc si N=a^n alors N n'est pas premier. Mais puisque c'est N= a^(n) -1, ce nombre peut être premier en fonction des cas.
D'accord, donc
N = [2^(p)-1]^(n)-1
et [2^(p)-1]^(n)-1 = (2^(p)-1 − 1)(2^(p)-1^(n−1) + 2^(p)-1^(n−2) + ... + 2^(p)-1 + 1)
et je calcule cette 2eme égalité?
Tu ne calcules rien.
Comme tout nombre peut-être divisé par 1, ta définition de non premier est mauvaise.
Un nombre N est premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Un nombre N n'est pas premier s'il peut s'écrire comme produit de deux nombres différents de 1.
Au début tu as écrit N comme un produit. A quelle condition est-il premier? Le même raisonnement sert après.
D'accord, donc N est premier si a^(n)-1 = 1*x
C'est bien ça? Parce que je crois que ce n'est pas ça, oups.
Je reviens sur la question préliminaire :
Elle peut se prouver en voyant a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1 comme la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
Pour la question 1, on y arrive :
Citation :
N est premier si a^(n)-1 = 1*x
C'est très mal dit, mais c'est l'idée :
N est premier si a^(n)-1 = 1*x
a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1) est un produit ; il ne peut donc être premier que si l'un de deux termes est égal à 1.
Je comprend l'idée pour la question préliminaire. Donc je dois montrer que a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1) est de la forme "un+1=q*un" , c'est ça?
Yzz @ 05-04-2020 à 17:58
C'est très mal dit, mais c'est l'idée :
a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1) est un produit ; il ne peut donc être premier que si l'un de deux termes est égal à 1.
C'est très mal dit, mais c'est l'idée :
a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1) est un produit ; il ne peut donc être premier que si l'un de deux termes est égal à 1.
D'accord, merci!
Citation :
Je comprend l'idée pour la question préliminaire. Donc je dois montrer que a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1) est de la forme "un+1=q*un" , c'est ça?
Non.Je répète :
Je comprend l'idée pour la question préliminaire. Donc je dois montrer que a^n − 1 = (a − 1)(a^(n−1) + a^(n−2) + ... + a + 1) est de la forme "un+1=q*un" , c'est ça?
1+a+a2+a3+ ... + an-1 est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique...
La suite de premier terme 1 et de raison ... ?