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Spectre d'un matrice nilpotente
Bonjour,
Je cherche à montrer que 0 est l'unique valeur propre de A, matrice nilpotente de Mn(C).
Le corrigé propose de poser p l'indice de nilpotence,
alors Aˆp . X = lambdaˆp . X = 0 donc lambda=0
J'ai utilisé un raisonnement différent mais je ne sais pas s'il est correct :
A étant nilpotente de de Mn(C), on a Aˆn = 0
donc le polynôme Xˆn est annulateur de A
donc toutes les valeurs propres de A sont racines de Xˆn
donc Sp(A)={0}
Je vous remercie pour votre aide!
Bonjour,
Le raisonnement n'est pas différent, en fait. Comment montres-tu que si P est un polynôme annulateur de A, alors toute valeur propre de A est racine de P ?
On a pour tout k : Aˆk .X = lambdaˆk . X
donc P(A).X = P(lambda).X =0
donc les lambdas sont bien racines de P.
En effet c'est le même raisonnement! Merci!
Après je suis pas sûre qu'au niveau spé on puisse affirmer directement que A nilpotente implique Aˆn=0, surtout que cela vient du fait que 0 soit l'unique vap de A non?
( le polynôme caractéristique de A est scindé sur C, 0 étant l'unique vap de A, son polynôme caractéristique est Xˆn)
Mais la définition de nilpotente veut dire qu'il existe un entier naturel tel que
. C'est tout ce dont on a besoin.
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