bonjour

avec valeur propre et vecteur propre

par exemple si tu fais
et que tu fais la meme chose avec les vecteur 1 et 3 de ta matrice ça donne

donct tu as donc tu as une valeur propre et le vecteur propre associé

Bonjour,
Merci pour votre réponse mais je dois être bouché car je ne comprends pas ce que vous faites. Merci de préciser s'il vous plait.

sont les vecteurs de la base canonique de
la définition d'une valeur propre est avec un scalaire.

si on appelle les vecteurs de la matrice A on vérifie que forme une base de (sinon tu auras une valeur propre nulle). Alors si on trouve tel que :


Alors est le vecteur propre associer à la valeur propre .

danse ce que j'ai dit au dessus

maintenant il faut trouver d'autre combinaison linéaire qui marche.

Bonjour,
On trouve facilement e1+e2 comme vecteur propre

Bon, je reprends ce que je pense avoir compris : les vecteurs v sont les vecteurs  dont j'ai les coordonnés dans la matrice v₁ (1/2 ;-1/2;2) , v₂ (1/2;3/2;-2) , v₃ (1/4;1/4;0). Ils forment une base de R3 d'accord.
Je cherche maintenant des vecteurs X (x;y;z) et des réels lambda tels que AX=lambdaX j'obtiens donc 3 équations en x, y et z et lambda. J'ai 4 inconnues et 3 équations que je ne sais pas résoudre.
Dans ce que vous me dites, je ne comprends pas d'où viennent les valeurs des à.

Ce qui  me serait utile ce serait que vous me disiez quelle méthode vous employez pour trouver les coefficients a car là j'ai un peu l'impression  que c'est une recherche  à vue.

c'est une recherche a vu. en testant des combinaisons facilement visibles .
sinon la méthode qui marche c'est de calculer le polynôme caractéristique de la matrice. mais ça sera du calcul brut.

Bonjour,
la méthode n'est plus, il me semble du programme de sup
Tu peux remarquer que le rang de la matrice est <3 (déterminant=0)donc il y a 0 comme valeur propre
f(u)=avec u non nul il existe un vecteur non nul le rang de la matriceest donc inférieur à la dimension de E, donc
tu calcules ce déterminant  , c'est un polynôme de degré 3 en que tu peux trouver directement factorisé si tu sais calculer astucieusement un déterminant ou facilement factorisable  et tu cherches les solutions, ce sont les valeurs propres .
si je ne me trompe, tu trouveras 0,1 et -3/4
Les vecteurs propres se trouvent  en déterminant les  U(x,y,z)non nuls les plus simples  tels que MU=0,  MU=U puis MU=(-3/4)U
ta matrice sera donc diagonalisable et de diagonale 1,-3/4,0
C'est la matrice de f dans la base de vecteurs propres.
pour la 2;
une méthode consiste résoudre M(A-I) =0_M3

Merci, je vais reprendre tout ça et je reviendrai si j'ai d'autres questions.

Re-bonjour
Sinon en regardant la matrice tu vois que donc est combinaison linéaire des deux autres vecteurs donc la famille est liée donc A n'est pas inversible donc 0 est valeur propre
de plus on remarque que   donc 1 une valeur propre de vecteur propre associé
donc l'espace propre associé à 1 est de dimension 2 car forment une base de
et donc si l'espace associé à 0 est de dimension 1 alors A est diagonalisable.

pour le vérifier il faut calculer le Ker(A) , c'est a dire AX=0 (c'est un systeme à 3 équations)

Sauf erreur, je trouve comme polynôme caractéristique : -lambda ^3+2lambda^2-lambda ce qui donne comme racines 0 et 1 (racine double).

c'est bon donc maintenant si tu calcules
tu va en déduire l'espace propre associé à 1

Bonjour,

je reprends mon exercice. Pour l'espace propre associé à 1 je trouve le sous-espace réduit au seul vecteur (2 ; 1 ; 2) et pour 0 le vecteur (-1 ; -1 ; 4). J'en conclus que la matrice n'est pas diagonalisable puisque le sous-espace associé à 1 (racine double) est de dimension 1. Les deux vecteurs trouvés ne peuvent former une base de R3.
Pour la dernière question à savoir trouver les matrices M appartenant à M₃(R)telles que MA=M que je transforme en M(I-A)=0. J'ai remarqué aussi que A²=A et donc que (I-A)²=I-A. Mais je ne vois pas trop comment m'en sortir. Merci du coup de main.