Bonsoir.Voici l'exercice sur lequel j'ai des difficultés.
On considere un epace vectoriel E de dimension finie sur C,et les endomorphismes f et g de E. On designe par e l'homomorphisme identique de E.
1)On suppose que gof a une
valeur propre nulle.Montrer que fog a elle aussi une valeur propre nulle.

2)Donner la condition nécessaire et suffisante concernant le spectre de l'endomorphisme f  pour que   e-f doit inversible.

3)Soit {c[1],c[2],...,c[n]} le spectre de l' endomorphisme  f. Comment peut-on choisir t  appartenant à K tel que e-t.f soit inversible?

4)f et g étant deux endomorphismes,on suppose que e-(fog) est inversible.Montrer alors que :[e-(gof)]o[e+go(e-fog)[-1]of]=e. En déduire que     e-(gof) est il inversible.

5)De ce qui precede, montrer que ,quels que soient les endomorphismes f et g, fog  et gof  ont les mêmes valeurs propres.

Svp je voudrais savoir si l'homomorphisme identique c'est l'application identité.

Voici ce que j' ai fait
1)soit A la matrice associée à f
B la matrice associée  à g
Alors AB est la matrice associée à fog, et BA est la matrice associée à gof.
0€spec(gof)=spec(BA)
donc det(BA)=0  
or det(BA)=detB.detA =det(AB)=0
donc det(AB)=0
donc 0€spec(AB)=spec(fog)
2) cette condition est que 1 n'appartient pas au spectre de f.
En effet,e-f inversible ssi  [det(e-f)]different[0]
donc [det(f-e)]different[0] donc 1 n'appartient pas à spectre de f.

3)[det(e-t.f)]different[0]
donc [(-t)[n] det(f-(e\t)]different[0]  avec [t]different[0]
d'où la condition est que  t[-1]  n'appartient pas à spectre de f.

4)[e-(gof)]o[e+go(e-fog)[-1] of]
=[e-gof]+eo(go(e-fog)[-1]of)-(gof)(go(e-fog)[-1]of)
=(e-gof)+go(e-fog)[-1]of-gofogo(e-fog)[-1]of
Mais à ce niveau je suis bloqué.

5)pour cette question je sèche complètement