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dans ton message de 18h12, on a l'équation réduite :
à l'aide de ceci, détermine le rayon de la sphère, ainsi que les coordonnées de son centre.
Kaiser
oui c'est évident mais je vois pa commen ca me donne les valeurs de m pour lesquelles il y a tangence entre les 2 sphères
précédemment, on a dit qu'il y a tangence si et seulement si l'une des deux égalités d=R+R' et d=|R-R'| est vérifié.
Comme on a R=1 et que R' et d peuvent s'exprimer en fonction de m, on obtiendra alors deux équations dont la seule inconnue sera m, et que l'on pourra résoudre.
Kaiser
pourquoi nous faudrait-il les 2 forcément? de plus si R=R' les sphères peuvent être confondues et comme je le disait on peut aussi avoir R-R'<d<R+R'
pourquoi nous faudrait-il les 2 forcément?
Je n'ai pas dit les 2, mais l'une des deux doit être vérifiée car les sphères peuvent être tangentes de deux manière différentes (voir le dessin plus haut).
de plus si R=R' les sphères peuvent être confondues
Justement, ce n'est pas possible. Si c'était le cas, il existerait un m pour lequel le centre de la sphère aurait pour coordonnées (0,0,0), mais ça n'arrive jamais car en regardant l'équation réduite écrite plus haut, on se rend compte que la 3èm coordonnées vaut toujours 3/2 (et donc ne vaut pas 0).
comme je le disait on peut aussi avoir R-R'
Dans ce cas là, il n'y a pas tangence.
Kaiser
et aussi il reste les x y et z donc j ne vois comment avoir la valeur de m
pour l'instant, il n'y pas de x, y ou z.
Il y seulement les deux équations R+R'=d et |R-R'|=d à reformuler en fonction de m uniquement et à résoudre.
ça te donnera les valeurs de m pour lesquels il y a tangence.
Kaiser
donc on a d= 1+ 9/2m²-11/4
pas tout à fait.
Dans l'équation réduite, ce que tu as à droite c'est le carrée du rayon, pas le rayon tout court. Dans ton égalité, il y a donc une racine carrée.
mais d est inconnue
justement non.
Tu connais les coordonnées des deux centres, donc tu connais d.
Kaiser
j'oubliais :
d=1-9/2m²+11/4
même remarque que précédemment (il manque une racine carrée).
Kaiser
Dans les deux cas, on va avoir une configuration de ce genre :
Les deux sphères vont se couper selon un cercle.
Kaiser
pourquoi ne pas travailler avec des carrées je trouve les racines encombrantes
Pour l'instant, on n'a pas trop le choix (le 1 nous embête un peu), mais ne t'inquiète pas, ça va se simplifier ensuite.
Kaiser
donc il y aura tangenceen un cercle pourquoi ne pas considérer ce cas
"tangence en un cercle" ne veut rien dire.
Par définition, deux surfaces sont tangents en un point, si au voisinage de ce point, l'intersection est réduit à ce point. Dans le cas présent, il y a tangence si et seulement si l'intersection des deux sphères est réduite à un point.
Kaiser
je ne vois pas comment virer m de la racine carrée sachant que même en mettant tout au carré le problème persiste du fait du doube produit
ce que je vais te dire va peut-être te faire fuir, mais fais-moi confiance : élève chaque membre de l'égalité au carré (il va y avoir une simplification).
Kaiser
toutafé !
tu as l'égalité d=1+R'.
Elève les deux aux carrés et comme je te l'ai dit, le miracle s'accomplit : une merveilleuse simplification.
Kaiser
oui, mais à ce moment, tu n'as plus qu'une seule racine, non ?
Il suffit donc de mettre la racine d'un côté et de mettre les constantes de l'autre et d'élever le tout une nouvelle fois au carré.
Kaiser
pour la première, je trouve la même chose que toi.
Pour la deuxième je trouve aussi un truc du même genre (enfin en élévant au carré, je trouve une racine carrée qui doit être négative) : ça veut tout simplement dire que le cas de tangence n°2 n'arrive jamais.
à présent, tu as donc deux valeurs de m pour lesquelles il y a tangence : pour déterminer les points de tangence pour ces valeurs, il te suffit de résoudre le système de mon message de 19h44 avec la valeur de m correspondant.
Kaiser
non, car au début on les avait mis mais en élevant au carré, elle disparaissent car pour tout réel x, x²=|x|².
Kaiser
oui mais ce qu'il y a sous la racine est positif, dans avec ou sans les valeurs absolues, c'est la même chose.
Kaiser
oui, mais d'après ce que l'on a fait avant, il n'y a qu'une seule solution donc on doit pouvoir résoudre ce système en bidouillant un peu.
Je regarde ça de mon côté.
Kaiser
En fait, je crois qu'on a pas besoin de résoudre ce système.
Il suffit de se reporter sur le dessin de mon message d'hier de 20h02 (1er dessin).
Si on appelle A le point de tangence, O le centre de S et C celui de Sm, il faut remarquer que l'on peut écrire avec
.
Kaiser
tu es d'accord, que dans le cas où les deux sphères sont tangentes, on a une configuration du type suivant et que les point A, O et C sont alignés ?
Kaiser
En particulier, tu es d'accord que les vecteurs et
sont colinéaires ?
et même mieux, qu'il existe un réel positif tel que
(le réel est positif car les deux vecteurs ont le même sens) ?
Kaiser
OK.
Ben maintenant, l'idée c'est de déterminer ce réel .
Pour cela, considère l'égalité et calcule la norme de chacun des deux membres.
Kaiser
et donc que vaut , et donc les coordonnées du point A pour les deux valeurs de m que l'on trouvées ?
Kaiser
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