Bonjour  letonio

On va montrer qu'elle est convergente ainsi elle sera bornée.
Si Un converge vers L alors L²=1+L d'ou L=(1+5)/2
on a pour tout n:
|Un+1 - L| = |(1+Un) - (1+L)|
           = |Un - L|/[(1+Un) + (1+L)]
donc |Un+1 - L| | Un - L| / (1+L)
d'ou pour tout n :
| Un - L | (1/(1+L))ⁿ |U0 - L|
Comme 0<1/(1+L)<1 alors Un -> L
donc Un est convergente et converge vers (1+5)/2
d'ou Un est bornée à partir d'un certain rang.

Sauf erreur de ma part

Joelz

Bonsoir.
On vérifie que . En trichant un peu on peut, sous réserve de majoration chercher sa limite : L² - L - 1 = 0. Donc . . On trouve un résultat positif, donc .
Cordialement RR.

L² - L - 1 = 0
Je ne comprends pas bien cette première étape.
Je vous dis ce que je crois comprendre.

Si Un converge vers L, alors
lim Un+1= lim Un  = L

Un grand merci à tous les deux.

comme Un+1= sqrt(1+ Un)
  en passant à la limite,

L= sqrt(1+ L)
L^2= 1+ L
L^2-L-1=0
L=(1+sqrt(5))/2

est-ce que jusque là c'est bien le raisonnement que vous suivez?

Si je comprends bien, cette partie du raisonnement est pour mon brouillon.

Ensuite je fais une récurrence toute simple.

Montrons par récurrence que pour tout n dans IN, Pn: ( Un<=2 )
P0 est vraie car U0=1

supposons Pn vraie, alors
Un+1= sqrt(1+Un)<= sqrt(3) <= 2

Donc Pn est vraie pour tout n dasn IN

Est-ce que c'est bien le bon raisonnement?

Oups il y a du désordre. Mon message aurait dû commencer par :
Un grand merci à tous les deux

En trichant un peu on peut, sous réserve de majoration

C'est-à-dire qu'on se fait une idée approximative de la limite qu'on cherce, puis on majore cette limite, pour être sûr de majorer Un, avec si possible un nombre facile à manier.