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Stabilité d'un équilibre et Nullcline

Posté par
matheuse75 28-02-16 à 02:03

Bonsoir,

Dans un exercice,on me demande d'étudier la stabilité d'un équilibre  d'un système en fonction des valeurs de  n>0 par l'utilisation de  la linéarisation.
De plus, je dois  montrer qu'il existe d'autres équilibres  de ce système pour n>2 en utilisant la méthode des nullclines(et je dois tracer ces nullclines).
Enfin,je dois étudier la stabilite des équilibres pour n>2 par  cette méthode des nullclines.


Ici,l'équilibre vaut (\frac{1}2{},\frac{1}2{})
Donc pour étudier la stabilité de cet équilibre (\frac{1}2{},\frac{1}2{})  ,nous devons calculer le déterminant de (J-\lambda I) ,puis calculer la valeur propre et les vecteurs propres de J pour savoir le comportement de l'équilibre (stable ou instable)


Déja,la matrice jacobienne  est

J(x,y)=\begin{pmatrix} -1 &\frac{-n}2{} \\ \frac{-n}2{}&-1 \end{pmatrix}

J(\frac{1}2{},\frac{1}2{})=\begin{pmatrix} -1 &\frac{-n}2{} \\ \frac{-n}2{}&-1 \end{pmatrix}

Donc det(J(\frac{1}2{},\frac{1}2{})-\lambda I)=det \begin{pmatrix} -1-\lambda  &\frac{-n}2{} \\ \frac{-n}2{}&-1-\lambda  \end{pmatrix}


D'ou pour n=1:

det(J(\frac{1}2{},\frac{1}2{})-\lambda I)=det \begin{pmatrix} -1-\lambda  &\frac{-1}2{} \\ \frac{-1}2{}&-1-\lambda  \end{pmatrix}

ce qui me fait :
(-1-\lambda )(-1-\lambda )-\left[(-\frac{1}2{)\times (-\frac{1}2{)}} \right]=0
à la fin,on obtient \lambda ^{2}+2\lambda +\frac{3}4{}=0
Les solutions sont \lambda _{1}=-\frac{3}2{} et \lambda _{2}=-\frac{1}2{}

Donc comme  \lambda _{1}=-\frac{3}2{} <0 et  \lambda _{2}=-\frac{1}2{} <0 ,on peut donc dire que l'équilibre est un noeud stable.

Calculons les vecteurs propres:

Pour   \lambda _{1}=-\frac{3}2{}
\begin{pmatrix} -1-\frac{3}2{} &-\frac{1}2{} \\ -\frac{1}2{} & -1-\frac{3}2{} \end{pmatrix}\times\bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} 0\\0 \end{smallmatrix}\bigr)

Ce qui me donne
-\frac{5}2{}x-\frac{1}2{y}=0 et -\frac{1}2{}x-\frac{5}2{y}=0
choisissons la première équation pour  trouver le vecteur propre V1
x=\alpha et y=-5\alpha

D'ou v1=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\-5 \end{smallmatrix}\bigr) d'ou direction stable

Avec   \lambda _{2}=-\frac{1}2{}

\begin{pmatrix} -1-\frac{1}2{} &-\frac{1}2{} \\ -\frac{1}2{} & -1-\frac{1}2{} \end{pmatrix}\times\bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} 0\\0 \end{smallmatrix}\bigr)


A la fin,on obtient x=\alpha et y=-3\alpha
D'ou  V2==\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\-3\end{smallmatrix}\bigr)
donc direction stable.

On fait la même chose avec n=2 ,on a
det(J(\frac{1}2{},\frac{1}2{})-\lambda I)=det \begin{pmatrix} -1-\lambda  &\frac{-2}2{} \\ \frac{-2}2{}&-1-\lambda  \end{pmatrix}

d'ou det(J(\frac{1}2{},\frac{1}2{})-\lambda I)=det\begin{pmatrix} -1-\lambda &-1 \\ -1&-1-\lambda \end{pmatrix}

à la fin,on obtient ,  \lambda ^{2}+2\lambda=0
Les solutions sont \lambda _{1}=-2 et \lambda _{2}=0

\lambda _{1}=-2<0 et  \lambda _{2}=0 .
le fait qu'une solution est égale à zéro fait que c'est un point fixé non-isolé.
Le plan contient  des points  fixés non isolé
L'équilibre 'est un noeud stable.

On calcule pour \lambda _{1} :V1 et pour  \lambda _{2} :V2
On fait le meme calcul qu'avec n=1 pour trouver V1 et V2

Pour V1.
-3x-y=0 d'ou x=\alpha  et y=3\alpha
D'ou \bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr)=\alpha \bigl(\begin{smallmatrix} 1\\3 \end{smallmatrix}\bigr)

V1=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\3 \end{smallmatrix}\bigr)
c'est une direction stable.

Pour \lambda _{2}=0
cela nous donne comme équation -x-y=0 d'ou x=\alpha
et y= -  \alpha.

Donc V2=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\-1 \end{smallmatrix}\bigr)
ici, pour V2 je ne sais pas quelles est la direction .

Merci d'avance de votre réponse

Posté par
Raptorre : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 16:50

Bonjour,

Je ne comprends pas:je croyais que c'est dans le cas de col ou l'on parle de direction stable(valeur propre negative) et direction instable (valeur propre positive )

Ici ce ne sont pas des cols

Posté par
matheuse75re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 17:49

Oui,c'est exact.
Lorsque l'équilibre est un col,
si l'une des valeurs propres est négative,la direction est stable et si l'autre valeur propre est  positive,la direction est instable.

Mais pour étudier la stabilité de l'équilibre  (\frac{1}2{},\frac{1}2{}),nous devons nous juste calculer les solutions \lambda _{1} et \lambda _{2}
Et ainsi en fonction du  signe  de ces deux solutions \lambda _{1} et \lambda _{2} ,on peut étudier la stabilité de l'équilibre  (\frac{1}2{},\frac{1}2{}) ?

D'autre part,pour n=2,je trouve que l'une des solutions vaut zéro,est-ce exact de dire que l'équilibre est stable?

Posté par
matheuse75re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 17:56

Que pour n=2, lorque l'une  des solutions est de zéro et l'autre solution est négative ,est-ce exact de dire que l'équilibre est  un noeud stable?

Merci d'avance de votre réponse

Posté par
Recomic35re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 18:18

Non, la stabilité n'est pas assurée si une des valeurs propres est nulle. Il faut une étude plus précise.

Posté par
Raptorre : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 18:23

Que les choses soient claires:

soit x1 et x2 les valeurs propres a ton polynome caracteristique:

si 0 < x1 < x2 : noeud repulsif
si x1 < 0 < x2 :  col
si x1 < x2 < 0 :  noeud attractif

Posté par
matheuse75re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 18:51

Merci de vos réponses

Donc cela veut dire que
-pour n=1,l'équilibre (1/2,1/2) est un noeud stable (attractif)
-pour n=2,l'équilibre (1/2,1/2) est un  noeud stable (attractif) .

Posté par
Recomic35re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 18:59

matheuse75 @ 28-02-2016 à 18:51


-pour n=2,l'équilibre (1/2,1/2) est un  noeud stable (attractif) .

NON, rien ne te permet de dire ça. Tu interprètes de travers ce qu'on écrit ; pourquoi ?

Posté par
matheuse75re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 19:04

Peut-on dire que  quand on a une valeur propre  égale à zéro , on ne peut rien dire au sujet de  la stabilité de l'équilibre  (ici (1/2,1/2) (parce que  le prof ne nous a pas donné d'exemple avec une valeur propre égale à zéro)  ?

Merci d'avance de votre réponse

Posté par
Recomic35re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 19:38

J'ai déjà répondu le 28-02-16 à 18:18. Tu n'as pas lu ?

Posté par
Recomic35re : Stabilité d'un équilibre et Nullcline 28-02-16 à 20:37

Il y a Nullcline dans ton titre. Tu pourrais peut-être t'en servir pour l'étude de la stabilité dans le cas n=2, non ?


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