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stabilité des mesures par translations
Bonjour,
Je me demande dans un espace affine euclidien d'où vient l'invariance des mesures par translations.
Cette propriété découle-t-elle naturellement de la définition des vecteurs (relation d'équipollence) donc la translation d'un bi-point est un bi-point qui a même partie vectorielle. (en découle que la longueur du translaté d'un segment est un segment de même longueur). Cela tient en affine ou est-on obligé de passer par la théorie de Lebesgue pour montrer l'invariance d'une mesure?
Bonjour,
si A et B sont deux points d'un espace affine euclidien leur distance est la norme du vecteur B-A par définition.
Et (B+u)-(A+u)=B-A.
D'accord, donc les mesures de segments sont conservées par translation par la théorie sur les espaces affines.
Lebesgue prouve que les mesures en plus que deux dimensions sont conservées (par les isométries affines) ?
Il me semble évident qu'une mesure doit être conservée par les isométries.
Mais dans un espace affine il n'y a pas d'isométries.
En fait non, une mesure n'est pas nécessairement conservée par isométrie. Prendre par exemple la mesure définie par la gaussienne où
est la mesure de Lebesgue (définie par l'amplitude des segments sur la droite) et
la fonction définie par
: la mesure du segment [0, 1] est bien supérieure à elle de [1000, 10001].
Toutefois, la mesure de Lebesgue est invariante par translation et rotation ; cette mesure est définie à partir de la mesure usuelle des "cubes" (en dimension 1, 2, 3, 4...).
De plus, toute mesure invariante par translation dans est proportionnelle à la mesure de Lebesgue.
(Précision pour la dernière remarque : pour toute mesure positive telle que la mesure de tout compact est finie)
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