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Niveau Maths sup
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stabilité pour une loi de composition

Posté par
romu
14-11-07 à 15:23

Bonjour, j'ai du mal pour cet exercice:


Citation :
Soit E un ensemble muni d'une loi associative.

Soit A une partie de E.

On note S la plus petite partie stable de E contenant A,

et C l'ensemble des éléments de la forme x_1x_2\cdots x_n,
x_1\in A,\ x_2\in A,\cdots,\ x_n\in A, et où n est un entier \geq 1 quelconque.

Montrer que S=C.


Déjà, je ne vois pas comment montrer que S\subset C.

Posté par
romu
re : stabilité pour une loi de composition 14-11-07 à 15:31

oui en fait, je devrais procéder plutôt comme ceci:

montrer que C est stable,

montrer que pour toute partie stable B contenant A, C\subset B.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : stabilité pour une loi de composition 14-11-07 à 15:32

Salut romu

je pense que c'est analogue à la démo concernant les sous-groupes de G engendrés par une partie qui sot toujours de la forme x1.x2...xn o* x1, x2, ..., xn sont des éléments de G ou des inverses.

Ici c'est une restrictions aux magmas

Posté par
romu
re : stabilité pour une loi de composition 14-11-07 à 15:36

salut monrow, je ne comprends pas bien ce que tu dis, ici on a pas vraiment de données sur l'existence des inverses.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : stabilité pour une loi de composition 14-11-07 à 15:46

oui parce que c'est un magma, je t'ai juste dit qu'on peut comparer S au sous-groupes engendrés d'un groupe G...

Bon on peut dire que 3$C=\Bigcup_{n\in\mathbb{N^*}}\{x_1x_2...x_n où \forall i\in\{1,...,n\}x_i\in S\}

on peut conclure facilement que C\subset S non?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : stabilité pour une loi de composition 14-11-07 à 15:47

3$\rm C=\Bigcup_{n\in\mathbb{N^*}}\{x_1x_2...x_n ou' \forall i\in\{1,...,n\}x_i\in S\}

Posté par
romu
re : stabilité pour une loi de composition 14-11-07 à 15:58

oui effectivement, je viens de trouver:


Soit B une partie stable contenant A.

Soient x_1,\cdots,x_n\in A,\qquad n\geq 1. Donc x_1,\cdots,x_n\in B.

Comme B est stable on montre par récurrence sur n à l'aide de l'associativité, que x_1\cdots x_n\in B.
Donc C\subset B.

Merci Monrow

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : stabilité pour une loi de composition 14-11-07 à 16:04

Tout à fait, comme ça tu as montré que c'est toujours la plus petite au sens de l'inclusion et donc C est dans S.



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