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Statistiques descriptive

Posté par
matheux14 19-02-23 à 22:20

Bonsoir,

Merci d'avance.

L'étude du genre et du revenu des employés d'une entreprise a fourni le tableau ci-après :

\setlength{\tabcolsep}{1cm} \begin{tabular}{|c |c |c |c |} \hline revenu mensuel $(\times 100$ euros) par Genre & Femme & Homme & Total \\ \hline [10, \textbf{a}[ & 20 & 28 & 48 \\ \hline [\textbf{a}, \textbf{b}[ & 60 & 84 & 144 \\ \hline [\textbf{b}, 22[ & 15 & 21 & 36 \\ \hline [22, 30[ & 5 & 7 & 12 \\ \hline Total & 100 & 140 & 240 \\ \hline \end{tabular}

Certaines données sont illisibles et ont été remplacées par \textbf{a} et \textbf{b}.

1. Préciser la population, l'individus et les deux caractères étudiés ainsi que leurs types.

2. Déterminer les distributions marginales (effectifs et fréquences).

3. On sait par ailleurs que le revenu mensuel moyen et le revenu mensuel médian des employés de cette entreprise sont respectivement 17,05 et 17 (en centaines d'euros).

(a)  Montrer que les bornes \textbf{a} et \textbf{b} sont solutions du système :

\begin{cases} \textbf{a} + \textbf{b} = 34 \\\ 4\textbf{a} + 3,75 \textbf{b} = 131 \end{cases}

(b) Trouver \textbf{a} et \textbf{b}.

(c) Déterminer le revenu mensuel le plus observé.

(d) Quelle est la proportion des employés qui ont un revenu mensuel compris entre 1100 et 1900 ?

(e) 25\% des employés ont un revenu au dessus de combien d'euros ?

4. Calculer le revenu mensuel moyen des femmes \left(\overline{R}_f\right) et celui des hommes \left(\overline{R}_h\right)

5. Le revenu mensuel des employés de cette employés est-il indépendant du genre ? Justifier votre réponse.

Réponses

1) La population étudiée est constituée des employés d'une entreprise, l'individu est chaque employé, et les deux caractères étudiés sont le genre et le revenu mensuel. Le genre est un caractère qualitatif nominal et le revenu mensuel est un caractère quantitatif continu.

2) Les distributions marginales sont les suivantes :

*Distribution marginale du genre :

Femmes : effectif = 100, fréquence = 100/240 = 41,67%

Hommes : effectif = 140, fréquence = 140/240 = 58,33%

*Distribution marginale du revenu mensuel :

[10, a[ : effectif = 20, fréquence = 20/240 = 8,33%

[a, b[ : effectif = 124 (60+15+5+44), fréquence = 124/240 = 51,67%

[b, 22[ : effectif = 57 (36+21), fréquence = 57/240 = 23,75%

[22, 30[ : effectif = 39 (12+27), fréquence = 39/240 = 16,25%

Total : effectif = 240, fréquence = 100%

3)

(a) Je ne vois pas comment procéder..

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 20-02-23 à 10:16

salut

pour déterminer une moyenne lorsqu'on des classes on fait l'hypothèse que la distribution est uniforme dans chaque classe et on prend donc le milieu ou centre de chaque classe

toujours sous cette même hypothèse le revenu médian appartient à la classe [a, b]

on cherche alors la fonction affine telle que f(a) = 48, f(b) = 192

et on sait que f(17) = 120

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 21-02-23 à 08:48

Comment trouvez-vous f(a) et f(b) ?

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 21-02-23 à 10:39

polygone des effectifs cumulés croissants ...

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 21-02-23 à 18:53

f(x) = ax + b on cherche a et b tel que :

\begin{cases} f(a) = 48 \\\ f(b) = 192 \\\ f(17) = 120 \end{cases} \iff \begin{cases} a^2 + b = 48 \\\ 17a + b = 120 \\\ ab + b = 192 \end{cases} \iff \begin{cases} b = 120 - 17a \\\ a^2-17a + 72 = 0 \\\ -17a^2 + 103a - 72 = 0 \end{cases}

f(x) = 8x - 16 ou f(x) = 9x - 33 ou

f(x) = \dfrac{103 + \sqrt{5713}}{34}x + \dfrac{137 - \sqrt{5713}}{2} ou f(x) = \dfrac{-103 + \sqrt{5713}}{34}x + \dfrac{343 - \sqrt{5713}}{2}

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 21-02-23 à 19:05

Citation :
3. On sait par ailleurs que le revenu mensuel moyen et le revenu mensuel médian des employés de cette entreprise sont respectivement 17,05 et 17 (en centaines d'euros).

(a)  Montrer que les bornes \textbf{a} et \textbf{b} sont solutions du système :

\begin{cases} \textbf{a} + \textbf{b} = 34 \\\ 4\textbf{a} + 3,75 \textbf{b} = 131 \end{cases}


Comment trouver ce système ?

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 21-02-23 à 20:03

carpediem @ 20-02-2023 à 10:16

pour déterminer une moyenne lorsqu'on des classes on fait l'hypothèse que la distribution est uniforme dans chaque classe et on prend donc le milieu ou centre de chaque classe

240 * 17,05 = 48(10 + a)/2 + 144(a + b)/2 + 36(b + 22)/2 + 12(22 + 30)/2

carpediem @ 20-02-2023 à 10:16

toujours sous cette même hypothèse le revenu médian appartient à la classe [a, b]

on cherche alors la fonction affine telle que f(a) = 48, f(b) = 192

et on sait que f(17) = 120

f(x) = px + q avec f(a) = 48 et f(b) = 192

déterminer alors p et q en fonction de a et b puis traduire que f(17) = 120

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 22-02-23 à 17:11

Citation :
carpediem @ 20-02-2023 à 10:16

pour déterminer une moyenne lorsqu'on des classes on fait l'hypothèse que la distribution est uniforme dans chaque classe et on prend donc le milieu ou centre de chaque classe

240 * 17,05 = 48(10 + a)/2 + 144(a + b)/2 + 36(b + 22)/2 + 12(22 + 30)/2



96a + 90b = 3252

Citation :
carpediem @ 20-02-2023 à 10:16

toujours sous cette même hypothèse le revenu médian appartient à la classe [a, b]

on cherche alors la fonction affine telle que f(a) = 48, f(b) = 192

et on sait que f(17) = 120

f(x) = px + q avec f(a) = 48 et f(b) = 192

déterminer alors p et q en fonction de a et b puis traduire que f(17) = 120


f(a) = 48 \Longrightarrow pa + q = 48 (1)

f(b) = 192 \Longrightarrow pb + q = 192 (2)

(1) \Longrightarrow p = \dfrac{48 - q}{a}

(2) \Longrightarrow q = 192 - pb

f(17) = 120 \Longrightarrow 17p + q = 120

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 22-02-23 à 18:59

96a + 90b = 3252

peut-être simplifier : les trois nombres sont trivialement multiple de 6 ... et voir si on obtient une des équations ...

et je me demande bien comment tu as obtenu cette égalité à partir de la mienne ...


pa + q = 48
pb + q = 192

par soustraction on a immédiatement que p(b - a) = 144 donc p = ...

q s'en déduit immédiatement ... à partir de l'une ou l'autre des deux équations précédentes ...

f(17) = 120 se traduit alors par une relation avec uniquement a et b ... et doit donner l'une des deux équations du système ...

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 22-02-23 à 19:27

96a + 90b = 3144 (pas 3252)

En simplifiant une première fois par 6 on obtient :

16a + 15b = 524

Puis par 4 on a l'équation :

4a + 3,75b = 131 du système.

Et pour l'autre équation, je l'ai.

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 22-02-23 à 21:03

(c) Le revenu mensuel le plus observé correspond à la classe modale, c'est-à-dire la classe qui contient le plus d'individus. Dans ce cas, c'est l'intervalle [a, b[ = [14, 20[, qui contient 144 individus, ce qui en fait la classe modale. Le revenu mensuel le plus observé est donc compris entre 1400 et 2000 euros.

(d) Pour calculer la proportion des employés qui ont un revenu mensuel compris entre 1100 et 1900, il faut additionner les fréquences des intervalles [10, 14[, [14, 20[  qui correspondent à cette plage de revenus :

Fréquence totale de ces intervalles : 20% + 60% = 80%

e) Je ne vois pas vraiment comment faire.

4) Le revenu mensuel moyen des femmes est donné par :
\overline{R}_f = \dfrac{\text{revenu total des femmes}}{\text{nombre total de femmes}}

D'après le tableau, le revenu total des femmes est 1000 euros (en multipliant chaque fréquence par la moyenne du groupe correspondant et en additionnant les résultats), et le nombre total de femmes est 100. Donc :

\overline{R}_f = \dfrac{1000}{100} = 10 euros.

De même, on trouve :

\overline{R}_h = \dfrac{\text{revenu total des hommes}}{\text{nombre total d'hommes}} = \dfrac{1400}{140} = 10 euros.

Les revenus mensuels moyens des femmes et des hommes sont donc égaux.

5) Pour savoir si le revenu mensuel des employés de cette entreprise est indépendant du genre, on peut regarder si les proportions de femmes et d'hommes gagnant un certain revenu sont les mêmes. Par exemple, on peut comparer les proportions de femmes et d'hommes gagnant entre 14 et 20 (en excluant la borne supérieure).

On a :

Proportion de femmes gagnant entre 14 et 20 : 60/100 = 0.6
Proportion d'hommes gagnant entre 14 et 20 : 84/140 = 0.6
On remarque que les proportions sont égales, ce qui indique que le genre n'influence pas la répartition des revenus dans cette entreprise. Par conséquent, on peut conclure que le revenu mensuel des employés de cette entreprise est indépendant du genre.

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 23-02-23 à 09:11

matheux14 @ 22-02-2023 à 21:03

(c) Le revenu mensuel le plus observé correspond à la classe modale, c'est-à-dire la classe qui contient le plus d'individus. Dans ce cas, c'est l'intervalle [a, b[ = [14, 20[, qui contient 144 individus, ce qui en fait la classe modale. Le revenu mensuel le plus observé est donc compris entre 1400 et 2000 euros.

merci de nous donner "au passage" les valeurs de a et b !!!

(d) Pour calculer la proportion des employés qui ont un revenu mensuel compris entre 1100 et 1900, il faut additionner les fréquences des intervalles [10, 14[, [14, 20[  qui correspondent à cette plage de revenus :   ben non !!!

Fréquence totale de ces intervalles : 20% + 60% = 80%
1100 et 1900 ne sont pas des bornes apparaissant dans le tableau

il nous faut donc trouver l'effectif des salaires appartenant aux intervalles [11, 14] et et [14, 19]

on fait donc la même chose que pour la médiane comme précédemment :

on cherche la fonction affine f telle que f(10) = 0 et f(14) = 48 et on déterminer f(11)
on cherche la fonction affine g telle que g(14) = 48 et g(20) = 192 et on déterminer g(19)

pour g il suffit de reprendre les résultats pour la médiane pour obtenir directement son expression (voir p et q)


plus généralement pour d/ et e/ on peut le faire graphiquement avec
carpediem @ 21-02-2023 à 10:39

polygone des effectifs cumulés croissants ...


sinon par le calcul à nouveau : vu que 48/240 = 0,2 alors 25 % correspond à un élément de la classe [14, 20] donc on cherche x tel que g(x) = 0,25

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 23-02-23 à 09:22

4/ penses-tu que le revenu moyen est 10 € ?

5/ c'est une bonne idée mais le faire pour une classe est insuffisant : il faut faire un tableau des fréquences par genre pour toutes les classes et ensuite conclure ...

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 23-02-23 à 12:48

a = 14 et b = 20

(d) f(x) = 24x - 240

f(11) = 24(11) - 240 = 24

Donc, l'effectif des salaires appartenant à l'intervalle [11, 14[ est de 24.

*g(x) = 24x -288

g(19) = 24(19) - 288 = 168

Donc, l'effectif des salaires appartenant à l'intervalle [14, 19[ est de 168.

La proportion des employés qui ont un revenu mensuel compris entre 1100€ et 1900€ est donc 168/240 + 24/240 = 0,8 = 80%

(e) g(x) = 0,25 ==> 24x - 288 = 0,25 ==> x = 12,01.

Donc 25% des employés ont un revenu au dessus de 1200 €.

4)

* Le revenu mensuel moyen des femmes est donné par :

\overline{R}f = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}

où x_i représente la borne inférieure de la i-ème classe d'intervalle et f_i représente l'effectif de cette classe.

En appliquant cette formule à la table fournie, on trouve :

\overline{R}_f = \dfrac{20\times 10 + 60 \times 14 + 15\times 20 + 5\times 22}{100} = \dfrac{1450}{100} \approx 14,50

Ainsi, le revenu mensuel moyen des femmes est d'environ 1450 euros.

De même, le revenu mensuel moyen des hommes est donné par :

\overline{R}h = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} h_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} h_i}

où x_i et h_i ont la même signification que pour les femmes.

En appliquant cette formule à la table fournie, on trouve :

\overline{R}_h = \dfrac{28\times 10 + 84 \times 14 + 21\times 20 + 7\times 22}{140} = \dfrac{1950}{140} \approx 13,92

Ainsi, le revenu mensuel moyen des hommes est d'environ 1392 euros.

5) Voici le tableau des fréquences par genre pour toutes les classes :

\setlength{\tabcolsep}{1cm} \begin{tabular}{|c |c |c |c |c|} \hline Classe & [10, 14[ & [14, 20[ & [20, 22[ & [22, 30[ \\ \hline Fréquence Femme & 20/100 = 0,2 & 60/100 = 0,6 & 15/100 = 0,15 & 5/100 = 0,05\\ \hline Fréquence Homme & 28/140 = 0,2 & 84/140 = 0,6 & 21/140 = 0,15 & 7/140 = 0,05 \\ \hline Fréquence Total & 48/240 = 0,2 & 144/240 = 0,6 & 36/240 = 0,15 & 12/240 = 0,05 \\ \hline \end{tabular}

On remarque que les proportions sont égales pour chaque classe, ce qui indique que le genre n'influence pas la répartition des revenus dans cette entreprise.

Par conséquent, on peut conclure que le revenu mensuel des employés de cette entreprise est indépendant du genre.

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 23-02-23 à 13:16

matheux14 @ 23-02-2023 à 12:48

Donc, l'effectif des salaires appartenant à l'intervalle [11, 14[ est de 24. non c'est f(14) - f(11)

Donc, l'effectif des salaires appartenant à l'intervalle [14, 19[ est de 168. non c'est g(19) - g(14)

et au passage on a bien sûr : f(14) = g(14)

La proportion des employés qui ont un revenu mensuel compris entre 1100€ et 1900€ est donc 168/240 + 24/240 = 0,8 = 80%

(e) g(x) = 0,25 ==> 24x - 288 = 0,25 ==> x = 12,01.

Donc 25% des employés ont un revenu au dessus au dessous d'après le polygone des effectifs cumulés croissants de 1200 €.

c'est 75 % qui ont au dessus de 1200 € environ !!! et c'est n peu du bon sens d'après le tableau !!

4)

* Le revenu mensuel moyen des femmes est donné par :

\overline{R}f = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}  pourquoi travailer avec les fréquences alors qu'on te donne les effectifs ?

où x_i représente la borne inférieure pourquoi la borne inférieure et pas supérieure ? en général on prend le milieu ... comme dit plus haut de la i-ème classe d'intervalle et f_i représente l'effectif de cette classe.

En appliquant cette formule à la table fournie, on trouve :

\overline{R}_f = \dfrac{20\times 10 + 60 \times 14 + 15\times 20 + 5\times 22}{100} = \dfrac{1450}{100} \approx 14,50

Ainsi, le revenu mensuel moyen des femmes est d'environ 1450 euros.

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 23-02-23 à 15:31

Citation :
et au passage on a bien sûr : f(14) = g(14)


f(x) = ax + b et g(x) = mx + n

\begin{cases}10a + b = 0 \\\ 14a + b = 48 \\\ 14m + n = 48 \\\ 20m + n = 192 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 12 \\\ b = -120 \\\ m = 24 \\\ n = -288 \end{cases}

f(x) = 12x - 120 et g(x) = 24x - 288

f(11) = 12 et g(19) = 168

Donc, l'effectif des salaires appartenant à l'intervalle [11, 14[ est de f(14) - f(11) = 36

L'effectif des salaires appartenant à l'intervalle [14, 19[ est de : g(19) - g(14) = 120

La proportion des employés qui ont un revenu mensuel compris entre 1100€ et 1900€ est donc 36/240 + 120/240 = 0,65 soit 65 %.

(e) g(x) = 0,25 ==> 24x - 288 = 0,25 ==> x = 12,01.

Donc 25% des employés ont un revenu au dessous d'après le polygone des effectifs cumulés croissants de 1200 €.

75 % des employés ont un revenu au dessus de 1200 € environ.

4)

* Le revenu mensuel moyen des femmes est donné par :

\overline{R}_f = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}

où x_i représente le milieu de la i-ème classe d'intervalle et f_i représente l'effectif de cette classe.

En appliquant cette formule à la table fournie, on trouve :

\overline{R}_f = \dfrac{20\times 12 + 60 \times 17 + 15\times 21 + 5\times 26}{100} = \dfrac{1705}{100} \approx 17,50

Ainsi, le revenu mensuel moyen des femmes est d'environ 1750 euros.

* Le revenu mensuel moyen des hommes est donné par :

\overline{R}_h = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} h_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} h_i} = \dfrac{28\times 12 + 84 \times 17 + 21\times 21 + 7\times 26}{240} = \dfrac{2387}{140} = 17,05

Le revenu mensuel moyen des hommes est d'environ 1705 euros.

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 23-02-23 à 15:32

\overline{R}_f = 17,05

Le revenu mensuel moyen des femmes est d'environ 1705 euros.

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 23-02-23 à 18:40

Merci beaucoup carpediem

Posté par
carpediemre : Statistiques descriptive 23-02-23 à 18:53

e/ tu ne réponds pas à la question

il faut trouver x tel que g(x) = 75 % * 240 = 180 car 48 < 180  48 + 144

Posté par
matheux14re : Statistiques descriptive 23-02-23 à 19:02

x = 19,5

Donc 25% des employés ont un revenu au dessus de 1950€.


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