Inscription / Connexion Nouveau Sujet
structures
Bonjour,
d entier positif dont la racine carrée n'est pas entière, on désigne par 
[
d] l'ensemble {x+yd ; x,y 
}
1) Montrer que ([d],+,*) (lois classiques de 
) est un anneau commutatif. ( ca g fait c OK!)
2) Démontrer qu'il n'existe pas d'isomorphisme d'anneaux de ([2],+,*) sur ([3],+,*).
3)a) On appelle conjugué d'un élément z=x+d (x,y), l'élément =x-y
d et on note N(z)=|x²-dy²|
Montrer que pour tout(u,v) de ([d])², on a :
=
+
=
N(uv)=N(u)N(v)
b) Soit z[d] ; montrer que z est inversible si et seulement si N(z)=1
c) Application : Donner des éléments de [2] autres que -1 et 1 et inversibles dans [2]
Un petit peu d'aide à partir de la question 2 svp. Merci mille fois d'avance
Bonjour djibril1515
Pour la 2), suppose l'existence d'un isomorphisme d'anneaux entre ces deux anneaux. En calulant
, dis-moi que peut valoir
. Ensuite, que vaut
.
En utilisant la surjectivité de cette application, aboutis à une contradiction.
Kaiser
ben en fait g pas tout compris pour la 2) et si vous pouviez m'aider pour la 3) aussi svp. Merci
Comme est un morphisme d'anneaux, alors
.
On en déduit que ou
.
Supposons par exemple que
Alors pour tous entiers a et b, on a
Comme est bijective, elle est en particulier surjective et donc il existe deux entiers a et b tels que
.
En élevant au carré, on obtient , d'où
.
Si ab est non nul, alors , ce qui est absurde car
est irrationnel.
On a donc ab=0.
Si b=0, alors ce qui est absurde
n'est pas un entier.
si a=0, alors d'où
.
Le terme de droite est un entier pair et 3 est impair, ce qui est absurde.
Le cas où , c'est la même chose.
On en déduit donc que l'hypothèse de départ est fausse et qu'il n'existe aucun isomorphisme entre ces deux anneaux.
ok milles merci. Pouvez vous m'aider à résoudre les questions 3) svp. merci encore
Il faut vraiment mettre de la mauvaise volonté pour ne pas réussir le 3a et la 3c.
La 3b demande un peu de travail:
j'appelle i le nombre tel que i^2=d
z=a+ib
z'=a-ib
zz'=a^2-db^2 est un nombre entier.
Il est donc inversible si et seulement si |a^2-db^2|=1
Il est clair que si zz'=1 ou zz'=-1 on a que z' est l'inverse de z ou -z' l'est.
Il est clair également que ce nombre est bien dans Z[ i] .
Donc on a montré que si N(z)=1 on a que z est inversible d'inverse z'.
Si maintenant z est inversible, alors il existe w tel que zw=wz=1
Notamment N(zw)=N(1)=1 et N(zw)=N(z)N(w)=1 donc N(z) est inversible, mais N(z) est un entier positif donc N(z)=1.
Voilà.
A+
Bizarre, quand je mets des crochets, ca ne passe pas.
"il est clair que ce nombre est dans Z crochet i et non dans Z"
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac