Bonjour,
Je demande votre aide concernant cet exercice ^^'
J'ai déjà tout fait, sauf la dernière sous-question de la dernière question.
(Bon, je l'avoue, je m'y suis pris un peu en retard pour le terminer )

Voila l'énoncé :

Soit (a,b)² tel que a b et soit le segment I = [a,b].
On appelle subdivision de I, tout (n+1)-uplet = (x₀,x₁,...,x_n) où n, x₀ = a, x_n = b et k[1,n](entiers), x_k-1 < x_k. Par exemple, si a = b, (a) est la seule subdivision de I (obtenue avec n = 0 et x₀ = a). Et, si a < b, (a,b) est la seule subdivision de I correspondant au cas n = 1.
Si fF(I,) et si = (x₀,x₁,...,x_n) est une subdivision de I, on note V(f,) = .
On pose _a^b(f) = {V(f,) | (I)} où (I) est l'ensemble des subdivisions de I.
On dit que f est à variations bornées sur I ssi l'ensemble _a^b(f) est majoré. Dans ce cas, on pose V_a^b(f) = Sup _a^b(f).
On note VB(I) l'ensemble des fonctions à variations bornées sur I.

1. Soit fVB(I). Montrez que |f(b) - f(a)| V_a^b(f), que si J = [c,d] est un segment contenu dans I, alors fVB(J) et V_c^d(f) V_a^b(f), et calculez V_c^c(f) pour cI.

2. Montrez que tout fonction monotone sur I est à variations bornées.

3. Montrez que tout élément de VB(I) est borné sur I.

4. Justifiez que, pour (f,g)VB(I)² et , (f + g, .f, f x g)VB(I)³, avec
V_a^b(f + g) V_a^b(f) + V_a^b(g),   V_a^b(.f) = || x V_a^b(f) et   V_a^b(f x g) Sup|f| x V_a^b(g) + Sup|g| x V_a^b(f) où Sup|f| = Sup{|f(x)| |xI}.


Donc voila, c'est pour montrer la toute fin,(f x g)VB(I) que je bloque.
J'ai essayé d'introduire (I) puis d'écrire _a^b(f x g) sous la forme de la somme. Puis j'ai essayé de trouvé un majorant mais je n'y arrive pas. Et je ne vois pas comment me servir de l'indication puisque pour l'utiliser, il faut déjà que Sup _a^b(f x g) existe.

Merci d'avance pour votre aide.