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suite

Posté par
Justin 03-04-07 à 13:58

Bonjour,

La suite (a_n) est définie de la façon suivante:
a_0=a \\ a_1=b \\ a_{n+2}=\frac{1+a_{n+1}a_n}{a_{n+1}+a_n}
avec a et b différents de -1, 0 et 1.

Il s'agit d'exprimez (a_n) en fonction de n, a et b. J'ai déja passé beaucoup de temps dessus et je n'y arrive pas. Aucune idée?

Merci.

Justin

Posté par
raymond Correcteursuite 03-04-07 à 14:24

Bonjour.

Simplement une éventuelle piste.

En posant : 3$\textrm u_n = \frac{1}{a_n} je trouve :

3$\textrm u_{n+2} = \frac{u_n + u_{n+1}}{1 + u_n.u_{n+1}}

Ce résultat fait penser à une somme de tangentes hyperboliques : 3$\textrm th(x+y) = \frac{thx + thy}{1 + thx.thy}.

Je ne sais pas si cela fait avancer le problème.

A plus RR.

Posté par
romure : suite 03-04-07 à 14:28

justin est apparemment en terminale, je ne pense pas qu il connaisse les tangentes hyperboliques raymond.

Posté par
raymond Correcteursuite 03-04-07 à 14:49

Bonjour romu.

C'est vrai, j'ai été abusé par la rubrique "autre" et j'ai oublié de consulter le profil de Justin.

Il va falloir trouver autre chose. A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : suite 03-04-07 à 23:59

Bonsoir.

J'ai trouvé ce sujet ce matin et j'aimerais bien un coup de main.

En remarquant que si l'on pose 3$\textrm f(x,y) = \frac{1+xy}{x+y} on obtient :

3$\textrm f(x,y) = f(y,x)

3$\textrm f(x,y) = f(\frac{1}{x},\frac{1}{y})

3$\textrm f(x,\frac{1}{y}) = \frac{1}{f(x,y)}


Je cherche à me placer dans le cas où on aurait pour tout n |un| > 1.

Cela permettrait de poser :

3$\textrm a_n = \frac{e^{u_n}+1}{e^{u_n}-1} : cotangente hyperbolique sans le dire.

Sauf erreur de calcul de ma part, cela devrait conduire à

3$\textrm u_{n+2} = u_{n+1} + u_n : suite de Fibonacci.

Voilà, seulement l'expression générale est lourde (radicaux de 5) et de plus, il me manque quelques intermédiaires.
Je doûte d'ailleurs que ce soit un sujet de terminale. Ou alors, une trentaine de questions précèdent l'étude de cette suite.

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : suite 04-04-07 à 00:09

Erreur de frappe, lire :

"Je cherche à me placer dans le cas où on aurait pour tout n |an| > 1."

A plus RR.

Posté par
Justinre : suite 04-04-07 à 15:30

Salut raymond,

Je te remercie pour avoir répondu au topic. Je suis effectivement en terminale mais les fonctions trigonométriques ne me gênent pas trop.

Cependant, je ne vois pas le lien entre les propriétés énoncées de f(x,y) et ton "changement de suite".

Ensuite, je n'arrive pas a retrouver Fibonacci... (erreur de calcul??).

Enfin, qu'est-ce qu'un "intermédiaire"?

Merci!

Justin.

P.S 3 éleves chinois tres forts en maths (dans les 200 premiers chinois de leur age) sont dans notre classe pendant les deux prochains mois. Ils m'ont proposé ce probleme...

Posté par
raymond Correcteurre : suite 04-04-07 à 17:35

Rebonjour.

J'ai demandé de l'aide, mais sans grand résultat.
Cela ne m'étonne pas que tu n'aies pas trouvé Fibonacci, les calculs sont pesants. Pour faire plus simple je te propose une voie équivalente, mais calculatoirement plus simple.
En admettant que l'on puisse se ramener à : pour tout n, |an| > 1 (voilà les intermédiaires manquants), nous pouvons écrire :

3$\textrm v_n = ln(\frac{a_n + 1}{a_n - 1})

or, un calcul assez simple donne :

3$\textrm\frac{a_{n+2} + 1}{a_{n+2} -1} = \frac{a_n + 1}{a_n - 1}\times\frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1} - 1}.

En prenant les logarithmes, on a bien : 3$\textrm\fbox{ v_{n+2} = v_{n+1} + v_n}

A plus RR.


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