bonsoir,
tu peux remarquer que:
f_n(x)=f_n-1(x) +xⁿ/n! (1)
et que f'_n(x)=f_n-1(x)            (2)

f₀(x)=1
f₁(x)=1+x  est nulle pour x₁=-1

f₂(x)=1+x+x²/2=f₁(x)+x²/2
f'₂(x)=f₁(x) etf'₂s'annule pour x=-1 f₂passe donc par un extremum pour x=-1 et f₂(-1)=f₁(-1)+(-1)²/2 =1/2 >0 f₂étant un polynome de degré pair son extrémun est un minimun donc pour tout x f₂(x)>0
on en déduit que la dérivée de f₃ est positive donc f₃ est strictement croissante de -ooà+oo donc elle ne s'annule qu'une fois en x₃ donc la dérivée de f₄ s'annule une seule fois et f₄fonction polynome de degré pair passe par un minimun pour x=x₃
f₄(x₃)=(x₃)4/4!>0 donc f₄ne s'annule pas

tu vas donc montrer par récurrence que:  si n est impair f_ns'annule une fois et une seule
                                         si n est pair f_n ne s'annule pas

                        

merci..^^

je V essayer de refaire..mais le problem etait la fin de cette demonstration...

tu supposes que f_2n(x)>0 sur R
on a vu que f_2n+1admet pour dérivée f_2ndonc f'_2n+1est strictement positive sur R=>f_2n+1 est strictement croissante sur R comme c'est une fonction polynome de
degré impair elle est strictement croissante de -oo à +oo donc elle s'annule une fois et une seule en x=a

f_2n+2a donc une dérivée qui s'annule une fois et une seule ,la fonction passe donc par un extrémun en ce point a et cet extrémun est un minimun puisque la fonction est polynomiale de degré pair
f_2n+2(a)=f_2n+1(a)+(a)²ⁿ⁺²/(2n+2)!=0+(a)²ⁿ⁺²/(2n+2)!>0
le minimun de f_2n+2est positif donc f_2n+2ne s'annule pas
fais un tableau de variations pour f_2n,f_2n+1 ça aide
bon courage