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Posté par
romu 04-10-07 à 11:19

Bonjour, je bloque sur cet exercice:

Soit la suite de nombres réels (u_n) telle que

3$u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n}),\ n\geq 0,\ u_0>0,\ a>0.

Montrer que la suite est décroissante et trouver sa limite.

Je ne vois pas comment faire, merci pour votre aide

Posté par
raymond CorrecteurSuite 04-10-07 à 11:27

Bonjour romu.

Calcule :

3$\textrm 1) u_{n+1} - \sqrt{a}

3$\textrm 2) u_{n+1} - u_n


A plus RR.

Posté par
romure : Suite 05-10-07 à 10:57

Bonjour Raymond,

je trouve

4$u_{n+1}-\sqrt{a} = \frac{1}{2} (\frac{a}{u_n} - (2\sqrt{a}-u_n),

et

4$u_{n+1}-u_n =\frac{1}{2}(\frac{a}{u_n}-u_n),


en quoi ces égalités m'amène à la limite?

Posté par
raymond Correcteurre : Suite 05-10-07 à 11:14

Bonjour romu.

3$\textrm u_{n+1} - \sqrt{a} = \fra{1}{2u_n}\Big[u_n^2 - 2u_n\sqrt{a} + a\Big] = \fra{1}{2u_n}(u_n - \sqrt{a})^2

3$\textrm u_{n+1} - u_n = \fra{a - u_n^2}{2u_n}

A plus RR.

Posté par
romure : Suite 05-10-07 à 11:23

ah d'accord, je n'avais pas vu, merci raymond.
Je vais essayer avec ça.

Posté par
romure : Suite 05-10-07 à 14:56

Bon, j'ai montré dans le cas où u_0<\sqrt{a} que pour n>1, la suite (u_n) est décroissante et minorée par 0,
mais je n'arrive pas à montrer que \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = \inf_{n\in \mathbb{N}} u_n n'est autre que \sqrt{a}.

J'ai pensé à supposé par l'absurde que \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n \neq \sqrt{a},
et là il faudrait que j'utilise un \epsilon>0 (de la définition de la limite) bien précis pour amener à une contradiction,
mais je ne vois pas comment le choisir?

Posté par
romure : Suite 05-10-07 à 14:57

Pardon, je voulais dire que j'ai montré dans le cas où u_0<\sqrt{a} que pour n>1, la suite (u_n) est décroissante et minorée par \sqrt{a}.

Posté par
raymond Correcteurre : Suite 05-10-07 à 15:17

La première égalité de mon précédent topic montre que pour tout n > 1, 3$\textrm u_n \ge \ \sqrt{a}

Donc, d'après la seconde égalité, la suite décroit. Donc décroissance et minoration ==> convergence.

Utilise alors l'énoncé et passe à la limite. En appelant x cette limite, tu auras :

3$\textrm u_{n+1} = \fra{1}{2}(u_n + \fra{a}{u_n}) \Longrightarrow \ x = \fra{1}{2}(x + \fra{a}{x})

Remarque : ma première formule montre que l'écart entre un et 3$\sqrt{a} décroit très rapidement, à cause du carré. Cette suite est très utilisée pour calculer des valeurs approchées de 3$\sqrt{a}. Essaie avec a = 2.

A plus RR.

Posté par
romure : Suite 05-10-07 à 15:25

ah oui d'accord, je n'avais pas pensé que pour une suite récurrente,
on avait par passage à la limite cette implication,
merci raymond je vais chercher ça en allant au taf.

Posté par
romure : Suite 05-10-07 à 22:10

ok c'est bon, j'ai compris.
Merci Raymond pour ton aide.

Posté par
raymond Correcteurre : Suite 05-10-07 à 23:56

Heureux de t'avoir aidé.

A une autre fois RR.


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