Si la limite existe (ce que tu n'as pas encore prouvé dans ton message), alors elle vérifie
Tu peux étudier la fonction pour voir combien l'équation admet de solutions. Il y en a déjà une évidente, non ?

oui c'est vrai j'ai oublié de préciser que la suite convergeait.

merci Nicolas
mais je ne vois pas comment résoudre l'équation x-ln(1+2x)=0 (x=0 sol évidente évidemment!)
merci

On ne peut pas la résoudre, et exprimer les solutions de manière analytique (à part la solution évidente).
Tu as d'autres renseignement sur la suite, par exemple un minorant et un majorant ?

je sais juste que u[0]est strictement positif

Tu peux donner ton énoncé complet, STP ?

c'est bon j'ai réussi l'exercice
merci qd même
j'aurais également une autre question:
je dois montrer que |u[n]-alpha| est inférieur ou égal à (2/3)^n   (u[0]=1)
je montre d'abord que la propriété est vraie au rang n=0 puis je la suppose vraie au rang n mais je n'arrive pas à la démontrer au rang n+1
pouvez vous m'aider ?
merci d'avance

neo, lis-tu ce qu'on t'écrit ?
Je t'ai prié à 19h30 de nous donner ton énoncé complet.
Sinon, on ne sait pas ce qui a déjà été démontré, ni ce qui reste à faire (ce qui peut fournir des indices pour répondre).
C'est impossible de t'aider sur une question au milieu de plusieurs, sans connaître les autres.
Ici, tu nous parle de alpha, mais on ne sait pas ce que c'est !
Donne-nous l'énoncé à partir du début, avec quelques questions d'avance.

Nicolas

J'essaie quand même, en étant quasi-sûr que tu as oublié de nous donner un certain nombre de questions intermédiaires. Mais c'est plus stimulant pour les neurones !

Soit la suite définie par :



(1) Cette suite est bien définie, et bornée dans [1;2]

En effet, envoie dans

(2) Cette suite est croissante.

En effet, sur [0;1] (étudier les variations de la fonction)
En remplaçant x par , il vient :


(3) Donc elle est convergente vers un réel de [1;2]

est l'unique solution de dans [1;2]
(vérifier son existence et son unicité par l'étude de la fonction )

(4) Montrer que

La propriété est vraie pour n=0. Supposons la vraie au rang n.

On sait que :


Faisons la différence :

On sait que les sont inférieurs à (suite croissante vers sa limite)
Et on sait que pour x positif.
Donc :

Or , donc :

Ce qui permet de conclure la récurrence.

Sauf erreur.

Nicolas

merci beaucoup pour ton aide
et désolé pour l'énoncé
enfin merci beaucoup