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Posté par
tuche 30-04-14 à 18:30

Bonjour,

J'ai du mal avec un énoncé, pouvez vous me donner quelques "pistes" SVP

Un=(x^n)/(1-x²) dx
(intégrale de 0 à 1/2)

Je dois montrer que quelques soit n appartenant à N, Un-U(n+2)=1/(n+1)2^(n+1)


MERCI D'AVANCE !

Posté par
LeDinore : suite 30-04-14 à 18:35

Ecris u(n) - u(n+2) sous forme intégrale, regarde ce que devient la fraction en mettant x^n en facteur...
... c'est très simple .

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 14:50

Je trouve  [x^n(1-x²)]/1-x²
(intégrale de 0 à 1/2)

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 14:57

Je dois en déduire les valeurs de U2 et U3
J'ai U0=1/1-x²

Je remplace juste n ?


De plus pour montrer que la suite est décroissante n
j'ai fait U(n+1)-Un, J'arrive à (x^(n+1)-x^n)/1-X

Comment procéder par la suite svp ?

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:00

Le fait que n donc x^(n+1)>x^n suffit à prouver que Un>0 ?

Posté par
tuchesuite 02-05-14 à 15:05

Bonjour !

J'aimerai bien de l'aide SVP
Je dois montrer que x[0;1/2], 1/(1-x²)<4/3
(< signifiant inférieur ou égal)

Dois-je encadrer 1/(1-x²) par 0 et 1/2 en ayant remplacer x par 0 et 1/2 ?

Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
tucheSommes 02-05-14 à 15:08

Bonjour,

J'aimerai avoir de l'aide à propos d'un exercice:
On pose n Sn=Uk=U0+U1+...+Un
(de k=0 à n)

Je dois donner pour tout réel x différent de 1, l'expression sous la forme de fraction, de la somme 1+X+...+X^n


Pouvez vous me mettre sur la voie SVP ?

Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : Sommes 02-05-14 à 15:10

Un étant égal à :
x^n/(1-x²) dx
sur 0 et 1/2

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 02-05-14 à 15:13

Moi je serais parti de 1-x², on sait que c'est une parabole tournée vers le bas avec un sommet en x=0 donc elle est décroissante entre 0 et 1/2 et donc puisque f(0)=1 et f(1/2)=3/4 on peut écrire que 3/4 1-x² 1

on en déduit 1 1/(1-x²) 4/3

(tu aurais pu aussi dire que puisque 1-x² est décroissante alors g(x)=1/(1-x²) est croissante (car c'est la fonction inverse de la précédente) et donc que g(0)1/(1-x²)g(1/2) )

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes 02-05-14 à 15:15

Bonjour

Tu sais depuis longtemps calculer la somme de n termes d'une suite géométrique!

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : Sommes 02-05-14 à 15:15

La somme des termes d'une suite géométrique, 1+X+...+Xn=(1-Xn+1)/(1-X)

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:23

Merci ! Un étant égal à x^n/(1-x²)
sur 0 et 1/2

pour déduire que Un<4/[3(n+1)*2^(n+1)]

Comment dois-je procéder ?

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : Sommes 02-05-14 à 15:25

Il me suffit juste de dire que  1+X+...+Xn=(1-Xn+1)/(1-X) ???

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : Sommes 02-05-14 à 15:28

Pour établir l'égalité:
Sn=1/(1-x²)(1-x).dx-x^(n+1)/(1-x²)(1-x).dx
sur 0 et 1/2
Comment dois-je procéder SVP ?

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 02-05-14 à 15:30

Et bien tu majores xn/(1-x²) par 4xn/3 et puis tu intègres entre 0 et 1/2

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : Sommes 02-05-14 à 15:31

Dois-je calculer cette intégrale:
1-x^(n+1)/(1-x²)(1-x).dx
Pour tomber sur :
(1-Xn+1)/(1-X)
???

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:34

On sait que: 1 < 1/(1-x²) <4/3
Alors, x^n/(1-x²) < 4x^n/3 ?

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:35

2(n+1) Je ne vois pas d'où peut venir ce terme ..

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 02-05-14 à 15:37

une primitive de xn est xn+1/(n+1) donc pris entre 0 et 1/2, ça va te donner ton /2n+1

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:38

J'arrive à Un< 4x^n/3
Je dois calculer pour arriver à 4/[3(n+1)*2^(n+1)] ??
Ca donnerait 4/[3(n+1) selon moi...

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:40

Euh non je trouve 4x^(n+1)/[3(n+1)]

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:43

Ah c'est bon j'ai compris super merci !
Donc pour trouver la limite de la suite je dois m'aider de ces résultats ?

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 02-05-14 à 15:51

Oui , gendarmes, regarde vers quoi tend l'expression qui majore ta suite.

*** message déplacé ***

Posté par
tucheintégrale 02-05-14 à 15:52

Bonjour, pouvez vous m'aidez à propos du calcul de l'intégral
x^n*(1-x²)/(1-x²)
sur 0 et 1/2

Je sais que le résultat est 1/(n+1)*2^(n+1)

Mais j'ai du mal avec le calcul intermédiaire (je sais que la primitive de x^n est x^n+1/(n+1) mais le problème est 1-x²)

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:54

Dois-je bien calculer la limite en de 4x^(n+1)/[3(n+1)] ?

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : intégrale 02-05-14 à 15:55

Tu devrais rester sur les mêmes topics, tu en as déjà deux qui parlent de cette suite.
En plus tu vois bien que x^n*(1-x²)/(1-x²) = x^n, non ?

*** message déplacé ***

Posté par
ThierryPomare : intégrale 02-05-14 à 15:55

Bonjour,

Quasi-incompréhensible !

Thierry

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 15:56

lim de n'importe quel nombre /=0
mais je ne vois pas comment le rédiger

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 02-05-14 à 15:58

non
on t'a bien demandé de démontrer que Un < 4/[3(n+1)*2^(n+1)], une fois cela fait,
donc c'est la limite de 4/[3(n+1)*2^(n+1)] qu'il faut trouver.

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 16:01

Oui oui , donc elle vaut 0 est-ce correct ?

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 02-05-14 à 16:02

Oui et donc la suite aussi tend vers 0

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 02-05-14 à 16:03

J'ai du mal à le justifier .. Dois-je décomposer la fonction ou ?

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 02-05-14 à 16:07

théorème des gendarmes , si 0 < Un < Wn et que Wn tend vers 0 alors Un aussi.
C'est assez évident, Un est coinçé entre 0 et une suite qui tend vers 0, on ne voit pas vers quoi cette suite pourrait tendre d'autre que 0.

*** message déplacé ***

Posté par
LeDinore : suite 02-05-14 à 16:27

Citation :
Je trouve  0,1/2 x^n(1-x²)/(1-x²).dx

J'espère que tu as simplifié par (1-x²), puis intégré entre les bornes...
... pour trouver le résultat demandé :

\boxed {  U_n - U_{n+2} = \dfrac{1}{(n+1)2^{n+1}}  }


Citation :
Je dois en déduire les valeurs de U2 et U3
J'ai U0 = 0,1/2 dx/(1-x²)
Je remplace juste n ?

Il faut faire le calcul de U0 et de U1 qui sont assez faciles.

U_0 = \int _0 ^{1/2} \dfrac{1}{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \int _0 ^{1/2} \left(\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x}\right) dx = \frac{1}{2} \left[\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\right]_0 ^{1/2} = ...

U_1 = \int _0 ^{1/2} \dfrac{x}{1-x^2} dx = -\frac{1}{2} \left[\ln(1-x^2) \right]_0 ^{1/2} = ...

Puis tu calcules U2 et U3 en appliquant la récurrence trouvée plus haut :

U_{n+2} = U_n - \dfrac{1}{(n+1)2^{n+1}}

Pour la décroissance de la suite c'est très simple :

Sur le domaine d'intégration I = [0;1/2] :  x^{n+1} < x^n
Donc :  U_{n+1} < U_n

Posté par
LeDinore : suite 02-05-14 à 16:30

Et ton multipost est LAMENTABLE   ...

Posté par
tuchere : suite 04-05-14 à 20:03

Merci
Pour montrer que Un est supérieur ou égal à 0 comment dois-je procéder premièrement SVP
Dois-je calculer l'intégral ?

Puis pour prouver que c'est une suite convergente je dois m'aider de sa limite ?

Posté par
tuchere : suite 04-05-14 à 20:06

J'ai calculé U2 et U3 en appliquant la récurrence, j'ai obtenu
U2= (ln3/2)-[(1/((n+1)2^(n+1))]
U3=1/2ln(4/3)-[(1/((n+1)2^(n+1))]

U0 et U1 m'étant donné

Posté par
tuchere : suite 04-05-14 à 20:11

MERCI
De plus,
Etant donné Un=x^n/(1-x²)
pour établir l'encadrement
0<x^(n+1)/[(1-x²)(1-x)] dx < 2 U(n+1)
(intégrale sur 0 et 1/2)



Comment procéder SVP

*** message déplacé ***

Posté par
LeDinore : suite 04-05-14 à 20:41

Citation :
Pour montrer que Un est supérieur ou égal à 0 comment dois-je procéder premièrement SVP
Dois-je calculer l'intégral ?

Un est l'intégrale d'une fonction positive entre 0 et 1/2.
Donc ?

Pour la convergence c'est très simple : tu as montré que Un est décroissante (voir mon message de 16h27 du 2/05).
Comme elle est minorée (par zéro)... la conclusion s'impose.

Citation :
J'ai calculé U2 et U3 en appliquant la récurrence, j'ai obtenu
U2= (ln3/2)-[(1/((n+1)2^(n+1))]
U3=1/2ln(4/3)-[(1/((n+1)2^(n+1))]

U0 et U1 m'étant donné

Foutage de gueule   !!!!
Remplace  n  par sa valeur dans chaque cas.
Et fais le calcul.

Quant à U0 et U1 ils ne sont pas "donnés", tu dois les calculer (voir mon post de 16h27 du 2/05).

Tu es en quelle classe ?
Parce que tu donnes l'air d'être un fameux touriste...

Posté par
Glapion Moderateurre : suite 04-05-14 à 23:07

exagère pas, regharde les nombreux post où tu as déjà posé la question : suite

*** message déplacé ***

Posté par
tuchere : suite 05-05-14 à 15:55

Encadrer sur le segment d'intégration...
Je n'arrive pas à commencer

*** message déplacé ***


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