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Posté par dali (invité) 05-02-06 à 16:34

salut tout le monde pouvez m'aider a resoudre ce probleme

Le reel x est fixé pour toute la durée de l'exercice On discutera soigneusement chaque question suivant la valeur de x

                                        n    
Pour tout entier naturel n, posons Sn= Σ   sin( 2kx)
                                        k=o

  
                               n
-  simplifier le plus possible Σ   e( 2ikx)
                                k=o


- Montrer que Sn * sin(x) = sin(nx) * sin((n+1)x)



MERCI D'AVA?CE pour l'aide que vous me rapporterez

Posté par
veledasuite 05-02-06 à 17:40

bonjour,
tu sais que exp(2ikx)=cos(2kx)+isin(2kx)
donc,sigma(de k=0 à n)exp(2ikx)=Cn + iSn ,tu calcules la somme des exponentielles sous forme algébrique et sa partie imaginaire te donneras Sn

Posté par dali (invité)re : suite 05-02-06 à 17:58

merci veleda

ben la je ss en train de faire la methode de reccurence mé je ne trouve pas une forme simplifier

Posté par dali (invité)re : suite 05-02-06 à 19:21

personne pourrez m'aidez merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : suite 05-02-06 à 20:58

Bonsoir dali

Pour effectuer le calcul de la somme avec les exponentielles complexes, il faut distinguer les cas selon que e^{ix} est égal à 1 ou non.

Si c'est égal à 1, alors la somme vaut n+1.
Sinon, on remarquer que c'est la somme des termes d'un suite géométrique de raison différent de 1 et en appliquant la formule, on trouve \bigsum_{k=0}^{n}e^{ikx}=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{e^{i\frac{(n+1)x}{2}}}{e^{i\frac{x}{2}}}\frac{e^{-i\frac{(n+1)x}{2}}-e^{i\frac{(n+1)x}{2}}}{e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}=\frac{e^{i\frac{(n+1)x}{2}}}{e^{i\frac{x}{2}}}\(\frac{-2isin(\frac{(n+1)x}{2})}{-2isin(\frac{x}{2})}\)=e^{i\frac{nx}{2}}\(\frac{sin(\frac{(n+1)x}{2})}{sin(\frac{x}{2})}\)

Kaiser


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