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Posté par
Dibal 01-03-23 à 19:54

bonjour . j'ai démontré que pour tout x positif :

x-\frac{x^3}{6}\leq sin(x)\leq x

On me demande d'en déduire le comportement asymptotique de la suite ;

(\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^2}{n^2}sin(\frac{k^2\pi}{n^3})}) _{n\geq 1}

si je me base sur l'encadrement de sinx j'aurai :

\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^2}{n^2}(\frac{k^2\pi}{n^3}}-\frac{1}{6}(\frac{k^2\pi}{n^3}}) ^3)\leq \sum_{k=1}^{n}{}{\frac{k^2}{n^2}sin(\frac{k^2\pi}{n^3}})\leq \sum_{k=1}^{n}{\frac{k^2}{n^2}(\frac{k^2\pi}{n^3})

J'avoue c'est costaud comme écriture mais aurez vous une idée de ce que je peux faire de ca s'il-vous-plait ?

Merci

Posté par
Dibalre : suite 01-03-23 à 19:59

Je vous avoue tout de suite j'ai pas eu le courage de me lancer sur le calcul des sommes des puissances de k ca me parait tellement long surtout qu'il y'aura une somme de k à la puissance 9 si on développe , ca me parait pas efficace comme méthode

Posté par
carpediemre : suite 01-03-23 à 20:04

salut

certainement pas développer mais peut-être commencer par réduire les termes de ces sommes et factoriser pour le membre de gauche ...

Posté par
Dibalre : suite 01-03-23 à 20:21

ok on aura du coup
\frac{\pi}{n^5}\sum_{k=1}^{n}k^2(1-\frac{1}{6}(\frac{k^2\pi}{n^3}}) ^2)\leq {\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}{k^2}sin(\frac{k^2\pi}{n^3}})\leq\frac{\pi}{n^5} \sum_{k=1}^{n}{k^4}

si je simplifie par pi/n^5 , j'aurai

\sum_{k=1}^{n}k^2(1-\frac{1}{6}(\frac{k^2\pi}{n^3}}) ^2)\leq {\frac{n^3}{\pi}\sum_{k=1}^{n}{k^2}sin(\frac{k^2\pi}{n^3}})\leq \sum_{k=1}^{n}{k^4}

Rien ne me parle

Posté par
carpediemre : suite 01-03-23 à 21:44

la deuxième étape est inutile : il faut garder la somme demandée ...

dans la première la puissance de k est fausse

ensuite dans les sommes je laisserai (k/n) ^4 et ne factoriserai que par /n

Posté par
Dibalre : suite 01-03-23 à 21:53

\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^4}{n^4}(1-\frac{1}{6}(\frac{k^2\pi}{n^3}}) ^2)\leq \sum_{k=1}^{n}{}{\frac{k^2}{n^2}sin(\frac{k^2\pi}{n^3}})\leq \frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^4}{n^4}

la on y est juste que je ne sais quoi faire de ca

Posté par
Dibalre : suite 02-03-23 à 03:05

Je pense a une suite de cesaro mais est ce correcte ?  

Posté par
luzakre : suite 02-03-23 à 08:49

En utilisant k^4\leqslant\int_k^{k+1}t^4\mathrm{d}t\leqslant(k+1)^4 tu peux obtenir la limite du terme de droite.

Posté par
carpediemre : suite 02-03-23 à 09:08

ok ...

certainement pas Cesaro mais je penserai plus à des somme de Riemann

en notant S la somme demandée (celle du milieu) S(n) celle de droite  alors on a :   S(n) - T(n) \le S \le S(n)


et n'aurait-on pas S(n) \to \pi \int_0^1 x^4 dx  ?

on calcule de même T(n)

Posté par
Dibalre : suite 02-03-23 à 10:07

luzak @ 02-03-2023 à 08:49

En utilisant k^4\leqslant\int_k^{k+1}t^4\mathrm{d}t\leqslant(k+1)^4 tu peux obtenir la limite du terme de droite.


Bonjour merci , du coup je fais de même pour l'inégalité de gauche ?

Posté par
Dibalre : suite 02-03-23 à 10:09

[b]carpediem[/b ] J'ai pas encore vu la somme de Riemann

Posté par
Dibalre : suite 02-03-23 à 10:19

luzak le terme de droite tend vers +00 je pense

Posté par
carpediemre : suite 02-03-23 à 10:53

et si tu nous donnais l'énoncé exact et complet du pb ...

Posté par
Dibalre : suite 02-03-23 à 10:58

c'est ca  l'énoncé complet je peux vous envoyer le PDF si vous voulez

Posté par
Dibalre : suite 02-03-23 à 18:45

Dibal @ 02-03-2023 à 10:19

luzak le terme de droite tend vers +00 je pense
le terme de gauche tend vers 0 je voulais dire

Posté par
Razesre : suite 03-03-23 à 07:23

Bonjour Dibal,

Comme te l'a indiqué carpediem,  ton S(n) est à un coefficient multiplicatif pres est de la forme \frac{k^4}{n^5} Donc l'encadrement serait à un coefficient multiplicatif pres est de la forme \frac{n^5}{5n^5}  ce qui ne tends pas vers 0 ni vers \infty

Procédé à un calcul et encadrement rigoureux de S(n) et de T(n)

Posté par
Dibalre : suite 03-03-23 à 15:42

carpediem votre méthode est superbe j'ai compris ce quil fallait faire et désolé nous avons déjà vu la somme de Riemann c'était dans une petite partie du cours que j'ignorai désolé ... Du coup par encadrement je trouve une limite de pi/5

Posté par
Dibalre : suite 03-03-23 à 15:43

Razes oui c'est exactement ce que ma suggérercarpediem  merci à vous

Posté par
carpediemre : suite 03-03-23 à 16:20

ouais parce que je ne vois pas comment faire sans les sommes de Riemann !! du moins ça me semble extrêmement compliqué (car calculatoire de "calculer" ces sommes)

et c'est pour cela que je te demandais si l'énoncé était complet ...

Posté par
Dibalre : suite 03-03-23 à 16:45

je me suis moi même demander comment engager un calcul ca me paraissait tellement compliqué ... Merci

Posté par
carpediemre : suite 03-03-23 à 17:08

de rien


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