Niveau Licence-pas de math

Suite

Posté par
Nerf 18-08-23 à 19:18

Bonjour, svp j'ai besoin d'aide.

Soit la suite (u_n) définie par $\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{...}}}}$ . u_n est composé de n radicaux. On demande de donner un équivalent de cette suite. En l'infini, le terme dominant sera $\sqrt{n}$ . J'ai voulu calculer le rapport $\frac{u_n}{\sqrt{n}}$ mais je n'arrive pas à réduire.

Posté par re : Suite 18-08-23 à 19:36

Ca t'aide si je tu écris que $\dfrac{u_n}{\sqrt{n}} = (1+v_n)^{\frac12}$ avec $(v_n)$ une suite qui tend vers 0 (pourquoi ?) ?

Posté par re : Suite 18-08-23 à 22:13

Est-ce qu'on doit simplement affirmer que v_n tend vers 0?

Posté par re : Suite 19-08-23 à 22:40

Non, tu ne peux pas ! Par ailleurs, il faut d'abord expliciter qui est $(v_n)$ .

Une idée : pour $n\in\mathbb{N}$ fixé, on considère la suite $(u_n^{(k)})_{k\in [\![0,n]\!]}$ définie par

$\left \{ \begin{array}{l} u_n^{(0)}=0\\ \forall k\in [\![0,n-1]\!],\ u_n^{(k+1)}=\sqrt{n+u_n^{(k)}}\end{array}\right .$

Pour comprendre le rôle de cette suite, calcule les premiers termes... L'idée c'est que l'on va avoir en particulier $u_n=u_n^{(n)} (\star)$

1. Montrer qu'il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , si $n\geqslant N$ , alors $(u_n^{(k)})_k$ est strictement décroissante à partir de $k=2$

On choisit $n\geqslant N$ pour le reste des questions.
2. En utilisant $(\star)$ et la suite précédemment construite, écrire $\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{1+v_n}$ avec $v_n$ à expliciter.
3. En utilisant la question 1., montrer que $v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$
4. Poursuivre

PS : Je ne sais pas si c'est le plus simple. En tout cas, ça fonctionne et c'est assez rigoureux.