salut

le caractère fermé ne s'obtient-il pas par généralisation du cas n = 1 ?

par contre pour la connexité le saut est tellement immense de n = 1 à n > 1 ... ou alors c'est du même acabit ...

Il me semble que l'ensemble des valeurs d'adhérence est une adhérence de E donc c'est toujours fermé

Par contre pour la connexité je bloque complètement, contrairement au cas n=1, on ne peut pas du tout prévoir la "trajectoire" de l'adhérence de cette suite donc une preuve par construction m'a l'air bien compliquée.. :/

Bonsoir Neex34.

L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est l'ensemble qui est bien entendu fermé.

Un raisonnement par l'absurde mène aussitôt au fait que si l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une telle suite n'était pas connexe, alors il existerait deux ouverts tels qu'une infinité de valeurs de la suite serait dans l'un et une autre infinité dans l'autre.
Comme la distance entre les deux ouverts est strictement positive, c'est réglé et ce, quelle que soit la dimension.

C.f par exemple la suite définie par : dont l'ensemble des valeurs d'adhérence devrait être l'ensemble [0;1]

ici [x] = partie entière de x

Bonsoir,
compte tenu des hypothèses, l'adhérence de la suite est un singleton.
Qui  est bien un fermé connexe.

Bonsoir verdurin
Mon exemple ne marche pas.
Mais je ne suis pas d'accord avec toi.

est dense dans [0;1] et on peut tout à fait ranger A en une suite telle que deux termes et consécutifs soit à une distance au plus 1/n l'un de l'autre.

On peut même le faire avec vis-à- vis de .

Bonsoir jsvdb.
Je ne suis pas certain de bien te comprendre.

Veux tu dire qu'il existe une suite vérifiant



et ayant au moins deux valeurs d'adhérence distinctes ?

Si la suite a 0 pour limite et est le terme d'une série divergente, oui, tout est envisageable.
En prenant n'importe quel connexe fermée C de , tu peux ranger les points à coordonnées rationnelles du connexe en sorte que deux points et soient à une distance entre eux inférieure à de sorte que C soit l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite.

Tu peux faire une comparaison avec un problème similaire : si tu as une série réelle alternée convergente, mais non absolument convergente, alors pour tout x réel, tu peux réarranger les termes de la suite pour que x soit la limite de la nouvelle série dont le terme général est celui de la nouvelle suite.

Sinon, il n'y a qu'une seule valeur d'adhérence et c'est donc la limite de la suite.

Prenons d'autres exemple sur la droite réelle :

- et . Cette fois, c'est le contraire, la distance entre deux termes tend bien vers 0 et il n'y a pas de valeur d'adhérence (et l'ensemble vide est bien connexe et fermé). C'est dû au fait que la série de terme général 1/n et divergente.

- et . Là, pas possible d'y échapper, la seule va est , limite de la suite.

Merci à tous pour votre aide !

En revanche, effectivement une suite vérifiant les hypothèses et dont les valeurs d'adhérences ne sont pas reduites à un singleton ne saute pas aux yeux, mais je vous en propose une graphiquement :

Un considère un marcheur sur la ligne des réels qui fait des allers-retours à l'infini entre le point 0 et le point 1 comme ceci :
Il passe de 0 à 1 avec un pas de 1
Il revient à 0 avec un pas de 1/2
Il retourne à 1 avec un pas de 1/4
...

À la 2n-ième étape, il passe de 0 à 1 avec un pas de 1/2^(2n).
À la (2n+1)-ème étape, il passe de 1 à 0 avec un pas de 1/2^(2n+1).

On note (Un) la position du marcheur au bout de chaque pas (à partir du premier).
Alors, (Un) est bornée entre 0 et 1, Un+1 - Un tend vers 0, et Un se rapproche infiniment de tous les réels du segment unité (se démontre facilement avec des epsilons), donc une telle suite existe bien

Non Neex34, la suite que tu utilises est le terme d'une série convergente. Tu dois reprendre ton exemple avec la suite 1/n (par exemple).

Non la suite ne converge pas car elle prend une infinité de fois 0 et 1 comme valeurs

Ah oui d'accord j'avais mal saisi. La série est effectivement divergente.
Bel exemple.

On peut faire une construction dans le cas général.
On se place donc dans (E,N) un espace vectoriel normé sur ou et de dimension finie.

Pour on note :




Soit un connexe fermé non vide.

Pour tout , on note : c'est un compact.

Soit une suite strictement décroissante vers 0 dont la série diverge.

Soit alors une suite strictement croissante d'entiers telle que et une suite de qui vérifient :

- est une boule de rayon
- les boules à recouvrent pour .

Autrement dit :
La (les) boule(s) à recouvre(nt)
La (les) boule(s) à recouvre(nt)
La (les) boule(s) à recouvre(nt)
...
N.B : Il est possible que jusqu'à un certain rang, une seule boule soit nécessaire pour recouvrir le compact associé, mais il arrivera obligatoirement un rang tel qu'il sera nécessaire d'utiliser de plus en plus de boules pour recouvrir le compact : cela est dû au fait que le rayon des boules tend vers 0 et que celui des compact est croissant. Néanmoins, à chaque étape, seul un nombre fini sera toujours suffisant pour faire cette opération.

Cette construction est rendue possible par la nature divergente de la série de terme associée au caractère compact des .

Soit alors une suite de points de telle que pour tout
N.B : il est tout à fait possible que pour certains j, on ait mais par construction, on a l'assurance qu'il existe une infinité de rang tel que ce soit possible

Montrons que l'ensemble des valeurs d'adhérence de est
Soit .
Alors est dans tous les à partir d'un certain rang.
Par construction de recouvrement, il existe alors une sous-suite de telle que et par suite

Par conséquent, la suite converge vers .

Évidemment, il faut préciser que la distance entre   et   doit tendre vers 0.

Re-bonjour

J'ai preté attention à votre proposition, mais j'ai une question (par contre là je suis sur mobile donc pour le Latex.. ) :

Il faudrait pas une hypothèse plus forte sur la suite b ?

Dans R2 muni de la norme usuelle par exemple (la racine de la somme des carrés des composantes), la suite b des inverses des entiers est bien de série divergente et décroit vers 0, mais je ne suis pas sûr qu'on puisse recouvrir des disques de plus en plus grands avec une suite finie de disques de rayons b(n) car la somme des aires de ces disques convergent (série de Riemann convergente), sauf erreur de ma part
Dans ce cas là, l'hypothèse "la série de b^2 diverge" suffirait je pense, donc on pourrait plutôt prendre pour b la somme des inverses des racines d'entiers, mais dans le cas général on pourra toujours trouver une suite b satisfaisante ?
C'est pas évident pour moi :/

Merci beaucoup !

Soit K un compact d'un EVN de dimension finie et une suite comme dans mon post de 11:53.
Alors il existe une suite finie de boules qui recouvrent K et telles que : soit de rayon et .
Qui plus est, dans le cas du problème initial, il faut respecter la contrainte que deux boules successives ont une distance qui tend vers 0.

Comme deux boules successives vont se chevaucher, on peut toujours supposer qu'il existe une constante telle que pour tout i, . Autrement dit, pour respecter la contrainte, on va faire se chevaucher deux boules successives, mais pas trop quand même. La "bonne" constante sera 1/2 dans le cadre d'une norme et deux boules qui se chevaucheront seront telles que leur centre respectif n'appartiendra pas à celle qui est chevauchée.

Comme la série est divergente, il existe un rang tel que donc les premières boules seront suffisantes pour recouvrir entièrement K.

Maintenant, ayant utilisé les premières boules, comme la série est divergente et que je vais devoir recouvrir un compact contenant K, alors je sais qu'il existe un entier tel que et donc les boules suivantes suffiront à recouvrir

Et ainsi de suite.

Ensuite, il faut placer la suite de boules pour qu'elles se chevauchent en respectant . On peut le faire en spirale du centre vers le bord pour K, puis une fois recouvert K, on recouvre en partant de la dernière posée et à nouveau en spirale etc etc. Après, c'est un petit jeu de construction.

Si je comprends bien ça marche pour toute suite v décroissante vers 0 de série divergente..
Je comprends peut-être de travers, mais je ne vois toujours pas comment on peut s'en sortir dans le cas que j'ai cité (un cas géométrique) :

Si on prend (Un) la suite des inverses des entiers.
Alors, la somme des aires des disques Dn de rayon Un est (Pi^3)/6, et donc tout recouvrement avec ces disques (finie ou pas) a une aire inférieure ou égale à (Pi^3)/6.

Comment recouvrir dans ce cas un disque de rayon sqrt((1+(Pi^3)/6)/Pi), dont l'aire est strictement supérieure à la somme des aires des Dn ?

si alors la série est divergente donc tu pourras recouvrir n'importe quel disque de rayon r avec une suite de boules de rayon 1/n

Oui, la série des rayons est divergente, mais pas la série des aires

On est bien d'accord que quand on recouvre par plusieurs disques, l'aire du recouvrement est inférieure à la somme des aires des disques du recouvrement ?

lol, faut lire d'aire et donc dans mes bla bla au-dessus il faut remplacer rayon par aire là où ça fait défaut.
D'ailleurs, tu remarqueras que j'ai noté donc je parlais de l'aire (ou du volume ou plus généralement de la mesure de Lebesgue n-dimensionnelle)
C'était évident ...

Bonjour !
Un exemple de suite réelle  : (prendre si on veut une suite complexe).
Cette suite est divergente car la suite extraite est divergente (classique).
Elle est bornée donc admet plusieurs valeurs d'adhérence distinctes.

Bonjour Luzak !

Je pense qu'on peut faire mieux :

En utilisant les sous-groupes de , on peut prouver que la suite extraite admet en fait tout l'intervalle comme valeurs d'adhérence (pourtant elle ne vérifie pas toutes les hypothèses énoncés dans mon premier post)


Mais je me demande si en s'inspirant de votre suite, on peut donner l'expression explicite la plus simple possible d'une suite complexe dont les valeurs d'adhérences seraient tout le disque unité..

Par exemple   ?

Puisqu'on est dans , il y a une technique classique qui consiste à mailler le plan avec des carrés de côté pour tout
A chaque entier , tu considères les carrés qui recouvrent ton disque en les numérotant de sorte que deux carrés ayant deux numéros consécutifs soient mitoyens et dans chaque carré tu choisis un élément du disque.
Pour passer du rang n au rang n+1, tu découpes en fait les carrés du rang n en 4.
Évidemment, ça ne donne pas une formule explicite mais l'adhérence de la suite construite est le disque fermé tout entier.
Cette construction  s'étend sans peine à tout espace normé de dimension finie.