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suite complexe

Posté par yonyon (invité) 14-12-05 à 22:26

Bonjour, j'ai un pb avec cet exo:
Soit z un nb complexe non réel (partie imaginaire non nulle). Pour tout n appartenant à N, on pose:
u(n)=(1+z/n)^n
1) calculer |u(n)|puis lim en +oo de |u(n)|
2) Soit Tn, le réel de [0,2pi] égal à un argument de 1+z/n. Montrer que lim en +oo de Tn=0. Déterminer un équivalent simple de Tn en +oo
3) Calculer lim en +oo de u(n)

1) En posant z=iy, j'ai :
|u(n)|=V(n²+y²)^n/n^n
mais je ne vois pas comment trouver la limite de cette expression

2) soit z=iy, z/n=iy/n or y/n tend vers 0 qd n tend vers +oo donc la partie imaginaire de 1+z/n tend vers zéro et l'argument de 1+z/n tend vers 0. Pour les éqivalents, je ne vois pas trop comment m'y prendre

3) Calculer lim en +oo de u(n)
Je suppose que c'est 1 car 1+z/n tend vers 1 puisque sa partie imaginaire y/n tend vers 0, et en élevant 1 à la puissance n, on obtient 1, est-ce bien ça?

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite complexe 15-12-05 à 02:03

Bonsoir yonyon;
1) En posant \fbox{z=a+ib\\b\neq0} on a que:
\fbox{ (\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\hspace{5}|u_n|^2=(|1+\frac{z}{n}|^2)^n=((1+\frac{a}{n})^2+\frac{b^2}{n^2})^n=e^{n ln(1+2\frac{a}{n}+\frac{a^2+b^2}{n^2})}=e^{n(2\frac{a}{n}+o(\frac{1}{n}))}=e^{2a+o(1)}\to e^{2a}} et donc que \blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}|u_n|=e^a}
2) On a \fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\hspace{5}|1+\frac{z}{n}|^2=((1+\frac{a}{n})^2+\frac{b^2}{n^2}\to1} et donc que \fbox{et\{{cos(T_n)=\frac{1+\frac{a}{n}}{|1+\frac{z}{n}|}\to1\\sin(T_n)=\frac{\frac{b}{n}}{|1+\frac{z}{n}|}\to0} et comme \fbox{T_n\in[0,2\pi[} tu vois bien que \blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}T_n=0} et vu que \fbox{\{{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\frac{sin(T_n)}{\frac{b}{n}}=1\\\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\frac{sin(T_n)}{T_n}=1} tu vois bien qu' \blue\fbox{un\hspace{5}equivalent\hspace{5}simple\hspace{5}de\hspace{5}T_n\hspace{5}est\hspace{5}\frac{b}{n}}
3)On a \fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\hspace{5}u_n=|u_n|e^{i n T_n}} et donc que 3$\red\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}u_n=e^{a}e^{ib}=e^{a+ib}=e^z}

Remarque:
Pour \fbox{z\hspace{5}reel\\(b=0)} on a \fbox{1+\frac{z}{n}>0\\pour\hspace{5}n\hspace{5}assez\hspace{5}grand} et donc que \fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}(1+\frac{z}{n})^n=\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}e^{n ln(1+\frac{z}{n})}=\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}e^{n(\frac{z}{n}+o(\frac{1}{n}))}=e^z}
On peut donc affirmer que 2$\blue\fbox{(\forall z\in\mathbb{C})\hspace{5}e^z=\lim_{n\to+\infty}(1+\frac{z}{n})^n}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par nico38 (invité)re : suite complexe 15-12-05 à 06:36

pourquoi toujours on a "que", on voit, on peut conclure "que" donc "que"...ca alourdit la redaction tous ces "que" inutiles


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