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Suite continuité

Posté par
Dibal 23-03-23 à 15:43

Bonjour à tous ,

soit f:[0,a[ --> ]0,+oo[ , f(x)/x admet une limite en 0^+

J'aimerai étudier la suite (u_n)_{n\geq 1} définie par

u_n=(n!\prod_{k=1}^{n}{f(\frac{a}{k})})^{\frac{1}{3}}

je but sur la monotonie , j'ai essayé avec u_n=e^{ln(u_n)

mais les calculs me semblent tellement long .

Auriez vous une piste par hasard à me proposer ?

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite continuité 23-03-23 à 15:58

Bonjour

En absence d'un énoncé complet, je ne sais pas pourquoi tu veux utiliser la monotonie, ni ce qu'on te demande pour la suite (u_n). Néanmoins je te donne une idée:
Remarque que

u_{n+1}/u_n=\left((n+1)f(a/(n+1))\right)^{1/3}

ce qui permet de dire des choses en fonction de la limite en 0 de f(x)/x

Posté par
Dibalre : Suite continuité 23-03-23 à 16:35

oui effectivement j'ai juste fait un peu de paresse , ca decoule bien de u_n=e^{ln(u_n)} dans ce cas on trouve

\frac{U_{n+1}}{u_n}>1 et donc que (u_n)_{n\geq 1} est strictement croissante .

En ce qui est de l'énoncé on demande juste d'étudier la suite . Grosso-modo il me reste à calculer la limite de cette suite

Posté par
Razesre : Suite continuité 23-03-23 à 17:35

Bonjour,

@Dibal, pourquoi donner tu le même nom à ta deuxième suite?

Posté par
Dibalre : Suite continuité 23-03-23 à 20:47

Bonsoir Razes je comprend pas ta question j'ai pas de deuxième suite c'est juste u_n que j'ai réécrit autrement

Posté par
carpediemre : Suite continuité 24-03-23 à 10:32

salut

je ne comprends pas ce que tu fais et réponds ...

pour poursuivre dans le sens de Camélia:

(n + 1) f \left( \dfrac a {n + 1} \right) = a \times \dfrac {n + 1} a f\left( \dfrac a {n + 1} \right) = ...

Posté par
Razesre : Suite continuité 25-03-23 à 18:57

Bonjour,

@Dibal
Effectivement, je n'avais pas bien vu et de plus il y avait u_n et U_n.

Essais de suivre l'indication de Camélia jusqu'à la fin, en utilisant l'indication supplémentaire de carpediem.

Posté par
Dibalre : Suite continuité 25-03-23 à 21:34

carpediem si on note l la limite de f(x)/x en quand x tend vers 0 par valeurs positives , on pourra conclure que comme

(n + 1) f \left( \dfrac a {n + 1} \right) = a \times \dfrac {n + 1} a f\left( \dfrac a {n + 1} \right) = a.\frac{f(\frac{a}{n+1})}{\frac{a}{n+1}}

admet une limite en 0^+ . En effet 0\leq {\frac{a}{n+1}}\leq a .

Notons cette limite L,  comme \frac{u_{n+1}}{u_n} tends vers 1 quand n tend vers 0^+ car u_{n+1} ,u_n

ont même limite  . De la je peux conclure que u_{n+1} converge vers a.L en 0^+ et donc que u_n
converge vers a.L.

J'attends vos avis , merci





                                  

Posté par
Dibalre : Suite continuité 25-03-23 à 21:35

Razes c'est bien u_n désolé

Posté par
carpediemre : Suite continuité 25-03-23 à 22:13

Dibal @ 25-03-2023 à 21:34



(n + 1) f \left( \dfrac a {n + 1} \right) = a \times \dfrac {n + 1} a f\left( \dfrac a {n + 1} \right) = a.\dfrac{f(\frac{a}{n+1})}{\frac{a}{n+1}}

admet une limite en 0^+ . En effet 0\leq {\frac{a}{n+1}}\leq a .être < a n'a guère d'intérêt : ce qui compte c'est que ça tend vers 0 !!

Notons cette limite L,  comme \dfrac{u_{n+1}}{u_n} tends vers 1 faux quand n tend vers 0^+ car u_{n+1} ,u_n ont même limite . si la suite converge !!

De la je peux conclure que u_{n+1} converge vers a.L en 0^+ et donc que u_n converge vers a.L. et faux


on conclut simplement que  \dfrac{u_{n+1}}{u_n} tend vers aL ...

et maintenant il faut discuter !!

PS : et encore : il ne faut pas oublier la puissance 1/3 : voir le msg de Camélia ...

Posté par
Dibalre : Suite continuité 25-03-23 à 22:29

carpediem @ 25-03-2023 à 22:13

Dibal @ 25-03-2023 à 21:34



(n + 1) f \left( \dfrac a {n + 1} \right) = a \times \dfrac {n + 1} a f\left( \dfrac a {n + 1} \right) = a.\dfrac{[tex]\frac{a}{n+1}
)}{\frac{a}{n+1}}[/tex]

admet une limite en 0^+ . En effet 0\leq {\frac{a}{n+1}}\leq a .être < a n'a guère d'intérêt : ce qui compte c'est que ça tend vers 0 !!

Notons cette limite L,  comme \dfrac{u_{n+1}}{u_n} tends vers 1 faux quand n tend vers 0^+ car u_{n+1} ,u_n ont même limite . si la suite converge !!

De la je peux conclure que u_{n+1} converge vers a.L en 0^+ et donc que u_n converge vers a.L. et faux


on conclut simplement que  \dfrac{u_{n+1}}{u_n} tend vers aL ...

et maintenant il faut discuter !!

PS : et encore : il ne faut pas oublier la puissance 1/3 : voir le msg de Camélia ...


ah mais oui ca admet une limite pas forcement finie !!!! chui bête la suite ne converge pas toujours effectivement  .

OUI !!! ce qui nous intéresse est que \frac{a}{n+1} tende  vers 0


Aussi Si  \frac{u_{n+1}}{u_n}=aL^{\frac{1}{3}}  comment fais tu pour conclure sur la limite de u_n ?

Et discuter suivant les valeurs L  bien sur si  :

-L

- L=+oo

-L=-oo

une dernière question , quand on dit qu'une fonction admet une limite , ca ne veut pas dire que la limite de f est finie ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite continuité 26-03-23 à 03:53

Bonsoir Dibal


Une piste possible : En posant \Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~v_n=nf\left(\frac{a}{n}\right)} on a,


\Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~u_n=\left(\prod_{k=1}^nv_k\right)^{\frac{1}{3}}} et donc, \Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~u_n=e^{\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\ln(v_k)}}.


Et comme \Large\boxed{\lim v_n=a\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=aL} on distingue trois cas :


\blue\boxed{1} Le cas \Large\boxed{aL>1} (y compris le cas L=+\infty), dans ce cas la suite (u_n) diverge vers +\infty.


\blue\boxed{2} Le cas \Large\boxed{aL<1} (y compris le cas L=0), dans ce cas la suite (u_n) converge vers 0.


\blue\boxed{3} Le cas \Large\boxed{aL=1} (le cas douteux tout peut arriver !). Pour s'en persuader on pourra par exemple examiner les deux cas :


\Large\boxed{a=1~,~f(x)=x} , \Large\boxed{a=1~,~f(x)=x\pm\frac{x^2}{2}}. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
carpediemre : Suite continuité 26-03-23 à 09:55

elhor_abdelali : ce n'est pas vraiment une piste !! c'est un méga GPS !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite continuité 26-03-23 à 13:24

carpediem

Posté par
Dibalre : Suite continuité 26-03-23 à 16:53

elhor_abdelali @ 26-03-2023 à 03:53

Bonsoir Dibal


Une piste possible : En posant \Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~v_n=nf\left(\frac{a}{n}\right)} on a,


\Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~u_n=\left(\prod_{k=1}^nv_k\right)^{\frac{1}{3}}} et donc, \Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~u_n=e^{\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\ln(v_k)}}.


Et comme \Large\boxed{\lim v_n=a\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=aL} on distingue trois cas :


\blue\boxed{1} Le cas \Large\boxed{aL>1} (y compris le cas L=+\infty), dans ce cas la suite (u_n) diverge vers +\infty.


\blue\boxed{2} Le cas \Large\boxed{aL<1} (y compris le cas L=0), dans ce cas la suite (u_n) converge vers 0.


\blue\boxed{3} Le cas \Large\boxed{aL=1} (le cas douteux tout peut arriver !). Pour s'en persuader on pourra par exemple examiner les deux cas :


\Large\boxed{a=1~,~f(x)=x} , \Large\boxed{a=1~,~f(x)=x\pm\frac{x^2}{2}}. sauf erreur de ma part bien entendu


Très élégant ... mercielhor_abdelali

Posté par
Dibalre : Suite continuité 26-03-23 à 16:58

merci à vous

Posté par
carpediemre : Suite continuité 26-03-23 à 17:42

ce que je te demandais à

carpediem @ 25-03-2023 à 22:13

on conclut simplement que  \dfrac{u_{n+1}}{u_n} tend vers aL ...

et maintenant il faut discuter !!

PS : et encore : il ne faut pas oublier la puissance 1/3 : voir le msg de Camélia ...
et elhor_abdelali à donner ce que je te demandais ...


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