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Suite convergente
Bonjour à tous.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer cet exemple ? :
A partir de u(0)>0, définissons par récurrence la suite (un) de 
*+ par : (voir photo).
Comment voit-on "tout de suite" que si elle converge vers l≠0, on aura :
l=5/l d'où 5 = l (carré). ?
Merci.
Théo
Bonjour 
Si U est une suite définie par la récurrence U(n+1)=f(Un) et si elle converge, alors elle converge vers un point fixe de f, ie un l tel que f(l)=l
Dans notre cas, on aurait l=1/2 (l+5/l)
Bonjour
Comme j'ignore la suite, je dirais que l'on fait apparaitre une suite (vn) telle que vn+1=(vn)2 ce qui présente quand même un certain intérêt!
oui c'est sûrement vrai que la suite aide :
la voici donc :
on s'aperçoit que, pour n
1, u(n)-sqrt(5)0, et surtout que :
ca c'est une grosse astuce de cette suite.
tu construit la suite Vn=(Un-sqrt5)/(Un+sqrt5)
et tu vois que Vn+1=(Vn)² (tu comprend pourquoi ? c'est juste un calcul a faire)
on en déduit que que : V1=Vo², V2=V1²=Vo^4 ... et par une récurence imédiate Vn=Vo^(2^n)
enfin si Uo>0, alors 0<=Vo<1, et donc Vn->0
enfaitil y a des methode plus simple et moins astucieuse pour montrer que Un converge, mais celle ci sert à prouver que la convergence est "quadratique" ca veux dire que si par exemple à un certain Vn est petit : disont Vn=10^-n, au rang suivant Vn+1 =10^(-2n), donc le nombre de décimal corecte de Un (si on veux s'en servir pour calculer sqrt5 ) double à chaque itération, ce qui fait de cette suite un des meilleur moyen dont on dispose pour calculer sqrt(5) (ou n'importe qu'elle racine caré en adaptant bien sur...), par exemple si tu part de Uo=1, U10 donne la valeur de sqrt5) avec pres d'un millier de décimal corecte.
mais si ton objectif est juste de montrer que Un->sqrt5 c'est pas forcement neccesaire de passer par Vn... on peut ce contenter de prouver que Un est monotone borné...
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