Si Un converge, lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1)
Donc pour n -> oo, on a U(n) = U(n+1)
U(n) = (Un)²-a
(Un)²- U(n) - a = 0
Un = [1 +/- Racinecarrée(1 + 4a)]/2

Donc si Un converge, ce ne peut-être que vers une des valeurs [1 +/- Racinecarrée(1
+ 4a)]/2.
Ces valeurs n'existent pour a <= 0 que si a est dans [-1/4 ; 0]
(à cause de la racine carrée).

Donc une condition nécessaire (pas forcément suffisante) pour que Un converge
avec a <= 0 est que a soit compris dans [-1/4 ; 0].
---
On continue donc avec a compris dans [-1/4 ; 0]

Supposons que 0 <= U(n) <= 0,5 pour une certaine valeur k de n, on a alors:
0 <= U(k) <= 0,5
0² <= (U(k))² <= (0,5)²
0 <= (U(k))² <= 0,25  
-a <= (U(k))²-a <= 0,25 - a
-a <= U(k+1) <= 0,25 - a

Avec a dans [-0,25 ; 0] -> 0 <= U(k+1) <= 0,5

Donc si on a 0 <= U(n) <= 0,5 pour une certaine valeur k de n, on a aussi
0 <= U(n) <= 0,5 pour n = k+1 (Avec a dans [-1/4 ; 0]). (1)
U(0) = 0, -> on a 0 <= U(n) <= 0,5 pour n = 1.

Comme 0 <= U(n) <= 0,5 est vrai pour n = 0, on a par (1) que 0 <= U(n)
<= 0,5 est vrai pour n = 1.
Comme 0 <= U(n) <= 0,5 est vrai pour n = 1, on a par (1) que 0 <= U(n)
<= 0,5 est vrai pour n = 2.
Comme 0 <= U(n) <= 0,5 est vrai pour n = 2, on a par (1) que 0 <= U(n)
<= 0,5 est vrai pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, 0 <= U(n) <= 0,5 avec a dans [-1/4 ; 0]
est vrai quel que soit n de N.

Donc la suite Un est bornée si a est compris dans [-1/4 ; 0]
---
U(n+1) - U(n) = (Un)²-a - Un = (Un)²- Un - a

g(x) = x² - x - a
g '(x) = 2x - 1

g'(x) <= 0 pour x dans [0 ; 0,5] -> g(x) décroissante.
g(0) = -a et donc g(0) >= 0

Des 2 lignes précédentes, on conclut que g(x) >= 0 pour x dans [0 ; 0,5]
->
x² - x - a >=0
x²-a >= x  pour x dans [0 ; 0,5]

(Un)² - a >= U(n)  pour U(n) dans [0 ; 0,5]
U(n+1) >= U(n)  pour U(n) dans [0 ; 0,5]
Et donc la suite Un est croissante ou fixe.
---
Comme Un est croissante ou fixe et bornée pour a dans [-1/4 ; 0], elle
converge.
---
On a vu que Un ne peut que converger vers une des valeurs [1 +/- Racinecarrée(1
+ 4a)]/2
La valeur avec le signe + est >= 0,5 alors qu'on sait que 0 <=
Un <= 0,5 -> ne convient pas.

Un converge alors vers: [1 - Racinecarrée(1 + 4a)]/2  si a est dans
[-1/4 ; 0]
---
Sauf distraction.