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Suite convergente et suites extraites
Ramanujan
Bonsoir,
J'ai réussi l'exercice mais je ne trouve pas d'exemples par exemple pour le 1, un exemple avec croissante,
convergente et
qui ne converge pas.
Pour le 2, même difficulté.
Exercice :
Soit une suite réelle. Montrer que
est convergente dans les deux cas suivants :
1) est croissante et
converge.
2) ,
et
convergent.
1) On a par croissante de :
La suite étant une sous-suite de
elle converge vers la même limite que
et le théorème d'encadrement permet de conclure.
2)
Comme est une suite extraite de
et
on en déduit
.
Comme est une suite extraite de
et
donc
Finalement donc
converge.
"...elle converge vers la même limite que ..."
Tu utilises la convergence pour démontrer la convergence, c'est pas banal !
C'est pourtant immédiat : si est croissante elle a une limite réelle ou infinie et la suite extraite
aura la même limite.
L'exemple que tu cherches n'existe pas ! Pas plus dans le cas 1 que dans le cas 2.
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